Optimization with set relations

Abstract

Ein neuer Zugang zur Optimierung mit mengenwertiger Zielfunktion wird untersucht, wobei die grundlegende Idee darin besteht, die mengenwertige Zielabbildung als Funktion in einen Hyperraum, genauer in den Raum C aller konvexen abgeschlossenen Teilmengen des p-dimensionalen Euklidischen Raumes, zu betrachten. Dieser Raum wird mit einer geeigneten Ordnungsrelation versehen, wobei sich herausstellt, dass man die Betrachtungen auf die gewöhnliche Mengeninklusion einschränken kann. Die Resultate werden auf Vektoroptimierungsprobleme angewendet. Kapitel 1 ist der Untersuchung der algebraischen und ordnungstheoretischen Eigenschaften von C gewidmet. Dies schließt Untersuchungen zur Möglichkeit der Einbettung bestimmter Klassen von C in einen linearen Raum ein. Die diesbezüglichen Resultate stellen eine Verallgemeinerung der klassischen Einbettungsaussagen von Radström aus dem Jahre 1952 dar. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit topologischen Eigenschaften von C. Eine wie es scheint neue Konvergenzklasse in C wird eingeführt. Diese wird durch geeignete Begriffe oberer und unterer Grenzwerte definiert. Eine Charakterisierung durch eine Art von skalarer Konvergenz wird angegeben. Die Konvergenz wird mit bekannten Konzepten verglichen. In Kapitel 3 untersuchen wir Funktionen mit Werten in C. Aufbauend auf den Resultaten des zweiten Kapitels, werden Halbstetigkeitsbegriffe eingeführt. Darüberhinaus definieren wir die Konjugierte einer C-wertigen Funktion. Das Hauptresultat dieses Abschnitts ist ein Bikonjugationssatz für C-wertige Funktionen. Kapitel 4 ist Optimierungsproblemen mit C-wertiger Zielfunktion gewidmet. Insbesondere beschäftigen wir uns mit Dualitätstheorie. Es werden schwache und starke Dualitätsaussagen sowohl vom Fenchel’schen als auch vom Lagrange’schen Typ bewiesen. Der Bikonjugationssatz geht dabei entscheidend in den Beweis der starken Dualitätsaussagen ein. Das letzte Kapitel enthält einen Vergleich der Dualitätsausagen für Optimierungsprobleme basierend auf Mengeninklusion mit Dualitätsaussagen der Vektoroptimierung.

We investigate a new approach to optimization with respect to set-valued objective functions. The basic idea is to understand the set-valued objective map as a function into a hyperspace, in fact we consider functions with values in the space C of all closed convex subsets of finite dimensional normed vector space. This space is provided with an appropriate ordering relation. It turns out that the considerations can be reduced to the case of the usual set inclusion. Chapter 1 is devoted to the study of algebraic and order theoretical properties of C. This involves an investigation about the possibility to embed certain classes of C into a linear space. This results in an extension of the classical embedding assertions of Radström from 1952. The second chapter deals with topological properties of C. We introduce a convergence class in C, which seems to be new. We define this convergence by appropriate concepts of upper and lower limits. A characterization by (a certain type of) scalar convergence is indicated. We compare this convergence with well-established concepts. In Chapter 3, we investigate functions with values in C. Based on the results of the second chapter, we develop semi-continuity concepts. Moreover, we introduce the notion of a conjugate of a C-valued function. The main result of this section is a biconjugation theorem for C-valued functions. Chapter 4 is devoted to optimization problems with C-valued objective function. In particular, we draw our attention to duality theory. We prove weak as well as strong duality assertions based on Fenchel as well as Lagrange approach. The biconjugation theorem, established in Chapter 3, is used as a main tool for the proof of the strong duality assertions. The last chapter contains a comparison of the duality results for optimization with set inclusion and duality assertions in vector optimization.