Controlled resolution reconstruction of one-dimensional permittivity profiles

Abstract

Diese Arbeit beschreibt einen neuen Ansatz für die Rekonstruktion von eindimensionalen tiefenabhängigen Permittivitätsprofilen von planen, zylindrischen und kugelförmigen Objekten, die von einer beliebigen TE oder TM polarisierten Welle beleuchtet werden. Die Rekonstruktion von Permittivitätsprofilen von planen und nicht planen Objekten bildet die Basis für die Darstellung von beliebig geformten dielektrischen Körpern, wenn Antennen hoher Direktivität für die laterale Abtastung verwendet werden. Die Hauptvorteile der neuen von uns vorgeschlagenen Technik sind, dass eine eindeutige Lösung erreicht wird und das die Darstellung stark streuender Objekte möglich wird. Ein weiterer Vorteil ist, dass die Auflösung des Bildes im Raumbereich durch die Wahl der Bandbreite der gemessenen Reflektionsdaten exakt eingestellt werden kann. Für ein planes Objekt werden zunächst die Riccati-Differentialgleichungen, welche das direkte Problem für den Fall von TE, TM und TEM Beleuchtung beschreiben, untersucht. Diese Differentialgleichungen werden mit der von uns vorgeschlagenen nichtlinearen Normierung invertiert, was einen Ausdruck für das tiefenabhängige Permittivitätsprofil als Funktion der inversen Fourier-Transformation der gemessenen Reflektionskoeffizienten im Frequenzbereich ergibt. Für zylindrische und kugelförmige Objekte werden die der nichtlinearen Riccati-Differentialgleichung ähnlichen Gleichungen für das direkte Problem für die Fälle der Beleuchtung mit TE- oder TM-Wellen in den entsprechenden Koordinatensystemen abgeleitet. Die Formulierung in Zylinderkoordinaten beziehungsweise Kugelkoordinaten ist vorteilhaft wenn Antennen mit geringerer Direktivität zum Scannen verwendet werden, da zylindrische und kugelförmige Geometrien die eindimensional oder zweidimensionale Krümmung des Objekts berücksichtigen können und damit die Genauigkeit der Abbildung verbessern. Um die für den planen Fall vorgeschlagene Methode für nicht plane Strukturen anwenden zu können, wird die Fourier-Transformationstechnik, die für plane Objekte gültig ist, verallgemeinert und ihre Anwendbarkeit durch Veränderung der Form des Transformationskernels auf beliebige Koordinatensysteme ausgedehnt. Diese allgemeine Theorie für die Rekonstruktion wird dann auf die Fälle zylindrischer und kugelförmiger Koordinaten angewendet, um die hergeleiteten Riccati-ähnlichen Differentialgleichungen zu invertieren. Diese Inversion ergibt einen geschlossenen Ausdruck für das radial variierende Permittivitätsprofil zylindrischer Objekte in Form einer Hankel-Transformationder frequenzabhängigen Reflektionsdaten. Im Fall kugelförmiger Objekte ist der geschlossene Ausdruck für das radial variierende Permittivitätsprofil durch eine sphärische Fourier-Bessel-Transformation der Frequenzbereichsreflektionsdaten gegeben. Ein experimenteller Aufbau für die Darstellung inhomogener dielektrischer Körper wird vorgestellt, der zerstörungsfrei arbeitet, da nur die Platzierung des Objektes im Freiraum direkt vor der Antenne erforderlich ist. Mehrere simulierte und experimentelle Beispiele wurden untersucht, um die Gültigkeit der vorgeschlagenen Technik nachzuweisen. Die Abweichung zwischen wahren und rekonstruierten Permittivitätsprofilen ist für den Fall planer Objekte kleiner als 2% und beträgt für dem Fall nicht planer Objekte zwischen 1% und 5%. Der Einfluss von Rauschen wurde ebenfalls untersucht, und es konnte festgestellt werden, dass sogar Fehler von 2% - 5% in den Reflektionsdaten eine recht genaue Abbildung erlauben, was die Stabilität der von uns vorgeschlagenen Methode beweist.

The present thesis describes a new approach for reconstructing one-dimensional depth-dependent permittivity profiles of planar, cylindrical and spherical objects illuminated by any arbitrary order TE or TM polarized wave. The reconstruction of permittivity profiles of planar and non-planar objects forms the basis for the general active microwave imaging of arbitrary shaped dielectric bodies if high directivity antennas are used for the lateral scanning. The main advantages of our proposed technique, as compared to previous approaches, are that it gives a unique solution, and it is able to image the dielectric objects of higher contrast as well. Another advantage of our proposed method is that the resolution of the imaging in the spatial domain can precisely be controlled by varying the bandwidth of the measured spectral domain reflection coefficient data. For a planar medium, the non-linear Riccati differential equations describing the direct problem for TEM, TE, and TM illuminations are first revised, and then these equations are inverted using our proposed renormalization technique to obtain an expression for the depth-dependent permittivity profile in terms of an inverse Fourier transform of the spectral domain reflection coefficient data. For the cylindrical and spherical objects, the non-linear Riccati-similar differential equations describing the direct problem formulation for any arbitrary order TE and TM illumination are derived in their respective coordinate systems. The formulation in the cylindrical and spherical coordinate system is advantageous if less directive antennas are used for the scanning, as these cylindrical and spherical geometries can take the 1-D and 2-D curvature of the object into account thus improving the accuracy of the image. To apply our proposed method in case of non-planar structures, the Fourier-transform technique valid for planar objects is generalized and its applicability is extended to any arbitrary coordinate system by changing the functional form of the transform kernel. The general theory of reconstruction is then applied in the case of cylindrical and spherical coordinate system to invert the derived non-linear Riccati-similar differential equations. This inversion gives us a closed-form expression for the radially varying permittivity profile of cylindrical objects in terms of a Hankel transform of the frequency-dependent reflection coefficient data. In case of spherical objects, the closed form expression of the radially varying permittivity profile is obtained in terms of a spherical Fourier-Bessel transform of the spectral domain reflection coefficient data. An experimental setup is developed for the imaging of inhomogeneous dielectric bodies, which is completely non-destructive in nature requiring the dielectric object to be placed in free-space directly in front of the antenna. Several simulated and experimental examples are considered to validate our proposed technique. The deviation between the actual and reconstructed permittivity profile is less than 2% in case of planar media, while it is around 1-5% in case of non-planar structures. The effect of noise is also considered and it is observed that even a 2-5% error in the scattering data provides a reasonably accurate reconstructed image, which proves the stability of our proposed method.