Willmore boundary value problems

Abstract

Diese Arbeit widmet sich der Suche nach berandeten Flächen, die sich als kritische Punkte des Willmore-Funktionals unter Dirichlet-Randbedingungen erweisen. Dabei beschränken wir uns auf Flächen, die sich als Graphen einer reellen Funktion im R2 darstellen lassen. Das bedeutet, dass sie im R3 eingebettet und gleichzeitig auf R2 projizierbar sind. Dieser Ansatz hat Vorteile, wie die Kontrolle des Durchmessers und des Flächeninhalts, sowie die Tatsache, dass die explizite Wahl der Koordinaten oft analytische Berechnungen vereinfacht. Es gibt jedoch auch Nachteile, wie zum Beispiel die Möglichkeit, die Projizierbarkeit durch Minimierungsprozesse zu verlieren. Eine Strategie besteht darin, die Euler-Lagrange-Gleichung, die hier als Willmore-Gleichung bezeichnet wird, für die Graphenfunktion umzuschreiben und als ein elliptisches Randwertproblem zu lösen. In dieser Arbeit wurde die Willmore-Gleichung als ein biharmonischer Operator mit einer rechten Seite in Divergenzform umgeschrieben. Dies ermöglichte es uns, unter Verwendung des Linearisierungsverfahrens und gewichteter Sobolev-Räume die Existenz einer im Inneren glatten Lösung bloß unter einer C1+α-Kleinheit an die Randdaten zu zeigen. Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Gradientenfluss des Willmore-Funktionals, den sogenannten Willmore-Fluss, zu betrachten. Wir haben ihn für die Graphenfunktion als eine parabolische Gleichung vierter Ordnung umgeschrieben. Mit Hilfe von zeitgewichteten parabolischen Hölder-Räumen konnten wir die Kurzzeitexistenz für C1+α-glatte Anfangsdaten und C4+α-Dirichlet-Randdaten ableiten. Darüber hinaus wurde die Langzeitexistenz mit Konvergenz gegen einen kritischen Punkt für ausreichend kleine C1+α-Normen der Anfangsdaten bewiesen. Wenn wir die Divergenzstruktur der Willmore-Flussgleichung ausnutzen, können wir sogar Kurz- und Langzeitexistenz mit Zeitkonvergenz gegen einen kritischen Punkt für ausreichend kleine C2+α-Normen der Anfangs- und Randdaten in ungewichteten parabolischen Räumen zeigen. Ein weiteres Werkzeug, das wir verwenden, ist die Untersuchung der Kompaktheitseigenschaften von Willmore-Minimalfolgen. Dabei bauen wir auf den Ergebnissen von Deckelnick, Grunau und Röger auf, die zuerst die W1,1 ∩ L∞-Norm durch die Willmore-Energie und die Randdaten beschränkt haben. Anschließend haben sie im Kontext von BV die L1-Relaxation des Willmore-Funktionals definiert und einen Minimierer gefunden. Um die Frage der Regularität zu klären, versuchen wir, die relaxierte Willmore-Energie zu charakterisieren. Deckelnick, Grunau und Röger haben den Anteil der Energie beschrieben, der aus dem absolut stetigen Anteil von ∇u stammt. In dieser Arbeit gelingt es uns, unter Verwendung von Varifaltigkeiten und Maß-Funktionspaaren einen zusätzlichen Anteil hinzuzufügen, der auch vertikale Komponenten beschreiben kann. Schließlich zeigen wir anhand eines Gegenbeispiels, dass eine endliche relaxierte Willmore-Energie einen Cantor-Anteil nicht ausschließt.

This thesis is devoted to the search for surfaces with boundary that serve as critical points of the Willmore functional under Dirichlet boundary conditions. Our focus is on surfaces that can be expressed as graphs of real functions defined on R2. These surfaces are embedded in R3 while also projecting onto R2 simultaneously. This approach offers several advantages, including control over diameter and surface area and the fact that explicit coordinates often simplify analytical calculations. However, it also comes with disadvantages, such as the potential loss of projectability during minimization processes. One strategy involves reformulating the Euler-Lagrange equation, referred to here as theWillmore equation, for the graph function and solving it as an elliptic boundary value problem. In this work, we express the Willmore equation as a biharmonic operator with a right-hand side in divergence form. This approach allows us to demonstrate the existence of a solution smooth in the interior, provided that the C1+α-norm of the boundary data is small enough, using linearization techniques and weighted Sobolev spaces. Another possibility is to examine the gradient flow of the Willmore functional, known as the Willmore flow. We rewrite it for the graph function as a fourth-order parabolic equation. By employing time-weighted parabolic Hölder spaces, we establish short-term existence for initial data with C1+α-smoothness and Dirichlet boundary data with C4+α-regularity. Furthermore, we prove long-term existence with convergence toward a critical point for sufficiently small C1+α- norms of the initial data. Leveraging the divergence structure of the Willmore flow equation, we can even demonstrate short- and long-termexistence with convergence over time to a critical point for sufficiently small C2+α-norms of both the initial and boundary data in unweighted parabolic spaces. Another toolwe use is to study the compactness properties of Willmore minimal sequences. We are building upon the results of Deckelnick, Grunau, and Röger, who initially bounded theW1,1 ∩ L∞-norm of the boundary data by Willmore energy and boundary data and further investigated the L1-relaxation of the Willmore functional in the context of BV . We aim to characterize the relaxed Willmore energy, adding contributions not only from the absolutely continuous part of ∇u but also from vertical components. Finally, we provide a counterexample demonstrating that finite relaxed Willmore energy does not exclude the existence of a Cantor component.