An optimal control problem for the stochastic nonlinear Schrödinger equation in variational formulation

Abstract

Wir untersuchen das stochastische nichtlineare Schrödinger-Problem mit Potenz-Nichtlinearität und additivem oder multiplikativem Gaußschen Rauschen über einem endlichen Zeithorizont und einem beschränkten eindimensionalen Gebiet. Basierend auf der Galerkin-Methode, Abschneidungen und Stoppzeiten erhalten wir die eindeutige Existenz einer Variationslösung und a priori Abschätzungen der endlichdimensionalen Gleichungen. Danach wird mittels Einbettungs- und Konvergenztheoremen die Existenz und Eindeutigkeit der Variationslösung des unendlichdimensionalen Problems gezeigt. Im Fall linear multiplikativen Rauschens leiten wir ein äquivalentes pfadweises Schrödinger-Problem her. Dessen Glattheitsresultate werden auf den stochastischen Fall übertragen und führen zu wichtigen Eigenschaften, um ein zugehöriges Problem der optimalen Steuerung zu behandeln. Mit Hilfe des komplex-konjugierten adjungierten Schrödinger-Problems berechnen wir einen Gradienten und eine notwendige Optimalitätsbedingung.

We investigate the stochastic nonlinear Schrödinger problem, characterized by a power-typenonlinearity and additive or multiplicative Gaussian noise, over a finite time horizon and a bounded one-dimensional domain. Based on the Galerkin method, truncation techniques and stopping times,we gain the unique existence of the variational solution and a priori estimates of the finite-dimensional equations. Thereafter, the existence and uniqueness of the variational solution of the infinite-dimensional problem are shown by using embedding and convergence theorems. In the case of linear multiplicative noise, we establish an equivalent pathwise nonlinear Schrödinger problem. Its smoothness results are transferred to the stochastic case and lead to properties we require to treat a corresponding problem of optimal control. Referring to the complex conjugated adjoint Schrödinger problem, we calculate a gradient formula of a given objective functional and a necessary optimality condition.