Sequential change point procedures based on U-statistics and the detection of covariance changes in functional data

Abstract

Change point analysis is concerned with the detection of changes in the underlying model of a sequence of observations. There are two different approaches in the context of change point analysis. In the classical a-posteriori approach, the completely observed data set is available when starting the testing procedure. In sequential change point analysis, data is monitored by testing for a structural break after each new observation. In the first and more theoretical part of this thesis we propose a general framework of sequential testing procedures based on U-statistics which, as an example, yields a robust sequential change point procedure related to a Wilcoxon-type test statistic. The critical values can be obtained from the derived limit distribution of the test statistic under the null hypothesis and we show that the proposed tests have asymptotic power one. Furthermore, we consider monitoring schemes that are adapted to late changes. We derive the respective asymptotics under the null hypothesis as well as under the alternative. Sequential change point procedures naturally involve a certain detection delay as some data needs to be collected after the change to obtain statistical significance. The speed of detection is of particular importance in sequential change point analysis as, for example, monitoring patient or machine data requires an intervention as soon as possible after a structural break occurred. Therefore, we derive the asymptotic distribution of the stopping time. In a simulation study we assess the finite sample performance of the testing procedures as well as the stopping time. In the second part of this work we develop a-posteriori change point procedures for the evaluation of covariance stationarity in functional data where the focus is on the application to functional magnetic resonance imaging (fMRI) data. Such scans provide a large amount of information for analyzing activities in the brain and in particular the interactions between brain regions. Resting state fMRI data is widely used for inferring connectivities in the brain which are not due to external factors. As such analyses strongly rely on stationarity, change point procedures can be applied in order to detect possible deviations from this crucial assumption. We model fMRI data as functional time series and develop tools for the detection of deviations from covariance stationarity via change point alternatives. We propose a nonparametric procedure which is based on dimension reduction techniques. However, as the projection of the functional time series onto a finite and rather low-dimensional subspace involves the risk of missing changes which are orthogonal to the projection space, we also consider two test statistics which take the full functional structure into account. The proposed methods are compared in a simulation study and applied to more than 100 resting state fMRI data sets

Die Changepoint Analyse befasst sich mit der Erkennung von Änderungen in dem Modell, welches einer Folge von Beobachtungen zugrunde liegt. In diesem Gebiet gibt es zwei unterschiedliche Ansätze. Im klassischen a-posteriori Ansatz wird das Testverfahren auf den komplett beobachteten Datensatz angewandt. In der sequentiellen Changepoint Analyse hingegen werden Daten dadurch überwacht, dass nach jeder neuen Beobachtung ein Test auf einen Strukturbruch durchgeführt wird. Im ersten und eher theoretischen Teil dieser Arbeit führen wir eine allgemeine Klasse von sequentiellen Testverfahren ein, welche auf U-Statistiken basieren. Damit ist es unter andem möglich, basierend auf einer Wilcoxon-Teststatistik ein robustes sequentielles Verfahren zur Erkennung von Strukturbrüchen zu erhalten. Die kritischen Werte können mit Hilfe der hergeleiteten Grenzverteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese bestimmt werden und wir zeigen, dass die Testverfahren asymptotische Güte eins besitzen. Außerdem betrachten wir alternative Teststatistiken, welche insbesondere auf die bessere Erkennung von späten Änderungen abzielen. Auch für diese Verfahren leiten wir die Grenzverteilung unter der Nullhypothese her und zeigen, dass sie asymptotische Güte eins haben. Sequentielle Testverfahren beinhalten immer eine gewisse Verzögerung in der Erkennung eines Strukturbruches, da zunächst einige Beobachtungen nach der Änderung gesammelt werden müssen, um statistische Signifikanz zu erhalten. Die Schnelligkeit der Strukturbrucherkennung ist von besonderer Relevanz in der sequentiellen Changepoint Analyse, da beispielsweise die Überwachung von Partienten- oder Maschinendaten einen unmittelbaren Eingriff erfordert, nachdem eine Änderung eingetreten ist. Dazu leiten wir die asymptotische Verteilung der Stoppzeit her. In einer Simulationsstudie betrachten wir das Verhalten der Testverfahren sowie der Stoppzeiten für endlichen Stichprobenumfang. Im zweiten Teil dieser Arbeit entwickeln wir a-posteriori Verfahren zur Evaluierung der Kovarianzstationarität in funktionalen Daten. Dabei liegt der Fokus auf der Anwendung auf Daten der funktionalen Magnetresonanztomographie (fMRT). Solche Aufnahmen liefern eine riesige Menge an Informationen zur Analyse von Gehirnaktivitäten und insbesondere der Interaktionen zwischen verschiedenen Gehirnregionen. Im Ruhezustand aufgenommene fMRT Daten werden häufig genutzt, um Konnektivitäten im Gehirn abzuleiten, welche nicht durch externe Faktoren verursacht werden. Da solche Analysen stark auf die Stationaritätsannahme angewiesen sind, können Verfahren zur Strukturbrucherkennung eingesetzt werden, um mögliche Abweichungen von dieser entscheidenden Annahme zu detektieren. Wir modellieren fMRT Daten als funktionale Zeitreihen und enwickeln Methoden zur Erkennung einer Abweichung von der Kovarianzstationarität mittels Changepoint Alternativen. Wir schlagen zunächst ein Verfahren vor, welches auf Dimensionsreduktion basiert. Allerdings geht die Projektion der funktionalen Zeitreihe auf einen niedrigdimensionalen Unterraum mit dem Risiko einher, dass Änderungen, welche orthogonal zum Projektionsraum sind, nicht erkannt werden. Daher betrachten wir zwei alternative Teststatistiken, welche die volle funktionale Struktur der Daten berücksichtigen. Die vorgeschlagenen Methoden werden in einer Simulationsstudie verglichen und auf mehr als 100 Ruhezustand fMRT Datensätze angewandt.