Eine abstrakte Implementierung der Low-Rank ADI Iteration für Lyapunovgleichungen in pyMOR

Abstract

Es lässt sich festhalten, dass die Low-Rank ADI Iteration ein effizientes Verfahren zum approximativen Lösen von Lyapunovgleichungen darstellt, welches vor allem davon profitiert, dass in vielen Fällen sowohl die Lösung als auch das Residuum der Lyapunovgleichung durch Faktoren niedrigen Ranges darstellbar sind. Die Tatsache, dass diese Faktoren durch doppelte Iterationsschritte stets als reelle Matrizen angegeben werden können, trägt ausserdem dazu bei, dass in der Praxis deutlich weniger Speicher für die Iteration benötigt wird. Des Weiteren ist die abstrakte Umsetzung des Verfahrens in pyMOR vor allem für verallgemeinerte Lyapunovgleichungen der Schnittstelle zur externen C-M.E.S.S. Bibliothek überlegen. Bei Standard Lyapunovgleichungen sollte jedoch für eine kurze Laufzeit trotzdem auf ebendiese zurückgegriffen werden. In jedem Fall können Lyapunovgleichungen in pyMOR nun weitestgehend unabhängig von externen Implementierungen gelöst werden. In Zukunft könnte pyMOR auch um weitere Algorithmen zum Lösen von Matrixgleichungen wie beispielsweise der algebraischen Riccati-Gleichung ATX + XA - XBR_1BT_X + Q = 0 erweitert werden. Gleichungen dieser Form treten im Kontext der Modellreduktion beispielsweise bei der linear-quadratic Gaussian balanced truncation auf. Ausserdem stellt C-M.E.S.S. mehr Abbruchkriterien und Möglichkeiten zum Generieren von Shiftparametern für die LR ADI Iteration zur Verfügung als die direkte pyMOR Implementierung. Diese könnten im Sinne der Vollständigkeit und Flexibilität zukünftig auch in die pyMOR Implementierung integriert werden.