Fast solution of the Poisson-Boltzmann equation by the reduced basis method and range-separated canonical tensor format

Abstract

We consider the fast and accurate numerical solution of the Poisson-Boltzmann equation (PBE), a three-dimensional second-order nonlinear elliptic parametrized partial differential equation (PPDE), which is ubiquitous in biophysics. It is an implicit solvent continuum model for calculating the electrostatic potential and energies of ionic solvated biomolecules. However, its numerical solution encounters severe challenges arising from: (i) strong singularities caused by the singular source terms and described by Dirac delta distributions; (ii) rapid nonlinearities caused by the exponential nonlinear terms; (iii) three spatial dimensions which lead to a high number of degrees of freedom in the resultant algebraic system of equations of size O(105)-O(106) resulting from large domains, necessary to accommodate large sizes of macromolecules and for accurate approximation of boundary conditions due to the slow polynomial decay of the electrostatic potential in the form of 1=k xk as x ! 1; and (iv) computationally expensive PBE simulations, for example, the Brownian dynamics simulations, whereby the PBE requires to be solved multiple times for a large number of system con gurations. In this thesis, we for the rst time eliminate the e ect of strong singularities by applying the novel range-separated (RS) canonical tensor format [15, 17] for the construction of an e cient regularization scheme for the PBE. The RS tensor format allows to derive a smooth approximation to the Dirac delta distribution introduced in [85] in order to construct a regularized PBE (RPBE) model which computes smooth long-range electrostatic potentials, thereby circumventing the building of numerical approximations to the singular solution, resulting in increased accuracy. Consequently, the main computational bene ts are due to the localization of the regularized Dirac delta distributions within the molecular region and automatic maintaining of the continuity in the Cauchy data on the solute-solvent interface [85]. The total electrostatic potential is obtained by adding the regularized long-range solution to the directly precomputed short-range potential component determined from the RS splitting of the Newton potential. Furthermore, to accelerate the computations resulting from challenges (iii) and (iv), we for the rst time employ the reduced basis method (RBM) to substantially reduce the computational complexity by constructing a surrogate reduced order model (ROM) of typically low dimension, whose solution accurately approximates the original PBE. Moreover, the discrete empirical interpolation (DEIM), is applied to the parametric nona ne Dirichlet boundary conditions (of Yukawa potential type) in order to signi - cantly reduce the computational complexity of the nona ne function by interpolation, whereby only a few entries are computed. On examples of several biomolecules, we demonstrate in the numerical experiments, the accuracy and e cacy of the RBM approximation for the nonlinear RPBE and the corresponding computational savings over the classical PBE.

Wir beschäftigen uns mit der schnellen und genauen numerischen Lösung der Poisson- Boltzmann-Gleichung (PBG), einer dreidimensionalen nichtlinearen elliptischen parametrischen partiellen Di erentialgleichung (PPDGL) zweiter Ordnung, die in der Biophysik allgegenwärtig ist. Diese ist ein implizites kontinuumsmechanisches Modell um das elektrostatische Potential und die Energie der ionisch gelösten Biomoleküle zu berechnen. Allerdings treten schwierige Herausforderungen beim numerischen Lösen auf: (i) starke Singularitäten, die durch den singulären Quellterm, der durch die Dirac Deltaverteilung beschrieben wird, entstehen; (ii) schnelle Nichtlinearitäten, die durch den exponentiellen, nichtlinearen Term hervorgerufen werden; (iii) drei räumliche Dimensionen, die zu einer Vielzahl an Freiheitsgraden in dem resultierenden algebraischen Gleichungssystem der Größe O(105) - O(106) führen, welches aus einem großen Gebiet resultiert, das nötig ist um große Makromoleküle unterzubringen und um die Randbedingungen aufgrund eines langsamen polynomiellen Abfalls des elektrostatischen Potentials in Gestalt von 1=k xk als x ! 1 genau approximieren zu können; und (iv) rechenintensive PBG Simulationen, wie zum Beispiel Brownsche Dynamiksimulationen, bei denen die PBG mehrfach für viele Systemeinstellungen gelöst werden muss. In dieser Dissertation werden wir zum ersten Mal den E ekt der starken Singularitäten entfernen, in dem wir das neuartige bereichstrennende kanonische Tensorformat [15, 17] zur Konstruktion eines effizienten Regularisierungsschemas für die PBG anwenden. Mit diesem Tensorformat kann eine glatte Approximation der Dirac Deltaverteilung, die in [85] eingeführt wurde, hergeleitet werden, um ein regularisiertes PBG (RPBG) Modell zu konstruieren, das glatte elektrostatische Potentiale berechnet und dabei verhindert, dass numerische Approximationen zur singulären Lösung erstellt werden, was zu einer erhöhten Genauigkeit führt. Folglich sind die wichtigsten Rechenvorteile darauf zurückzuführen, dass die regularisierte Dirac Deltaverteilung auf das molekulare Gebiet beschränkt ist und die Stetigkeit in den Cauchy-Daten auf dem Lösungsmittel-Interface [85] automatisch erhalten werden. Das gesamte elektrostatische Potential wird dann durch Hinzufügen der regularisierten weitreichenden Lösung zur vorher berechneten kurzzeitigen Potentialkomponente, die durch das bereichstrennende Aufteilen des Newton-Potentials bestimmt wird, berechnet. Um die Berechnungen, die aus den Herausforderungen (iii) und (iv) resultieren, außerdem zu beschleunigen, haben wir zum ersten Mal die reduzierte Basen Methode (RBM) angewandt, um im Wesentlichen den Rechenaufwand zu reduzieren. Dafür wird ein Modell reduzierter Ordnung (ROM) konstruiert, dessen Lösung die originale PBG exakt approximiert. Darüber hinaus wird die diskrete empirische Interpolation (DEIM) auf die parametrischen nicht-affinen Dirichlet-Randbedingungen (von Yukawa Potentialart) angewandt um den Rechenaufwand der nicht-affinen Funktion durch Interpolation zu verringern, wobei nur wenige Einträge berechnet werden. Anhand von Beispielen ver schiedener Biomoleküle werden wir die Genauigkeit und Effizienz der RBM Approximation für die nichtlineare RPBG und die zugehörigen rechnerischen Einsparungen verglichen mit der klassischen PGB aufzeigen.