Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.25673/30567
Title: Selected initial and boundary value problems for hyperbolic systems and kinetic equations
Author(s): Kunik, Matthias
Referee(s): Warnecke, Gerald
Granting Institution: Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik
Issue Date: 2019
Type: Habilitation
Exam Date: 2005
Language: English
Publisher: Otto von Guericke University Library, Magdeburg, Germany
URN: urn:nbn:de:gbv:ma9:1-1981185920-307100
Subjects: Anfangsrandwertproblem
Boltzmann-Gleichung
Hyperbolische Differentialgleichung
Abstract: In dieser Arbeit sollen mathematische Studien hyperbolischer Systeme von Erhaltungsgleichungen mit ausgewählten physikalischen Anwendungen verbunden werden. Der Schwerpunkt liegt dabei in der mathematischen Analyse von Lorentz-invarianten Systemen der speziellen Relativitätstheorie wie den Maxwell-Gleichungen und den relativistischen Euler Gleichungen. Aber wir studieren auch die sogenannte Boltzmann-Peierls Gleichung (BPG), eine kinetische Evolutionsgleichung, die den Wärmetransport in einem dielek-trischen Kristall bei sehr tiefer Temperatur mit Hilfe eines Phonon-Bose Gases beschreibt, sowie ein aus der BPG abgeleitetes hyperbolisches Momentensystem. Die kinetische Behandlung der relativistischen Euler Gleichungen und die kinetische Boltzmann-Peierls Theorie eines Phonon-Bose Gases beschreiben zwar völlig verschiedene physikalische Vorgänge, zeigen aber trotzdem weit-reichende mathematische Analogien. Fur die Untersuchung der relativistischen Euler Gleichungen entwickeln wir die mathematischen Grundlagen der kinetischen Theorie im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Die von Juttner angegebene Gleichgewichts-Phasendichte wird mit Hilfe des Maximum Entropie Prinzips begrundet. Sie verallgemeinert die klassische Maxwellsche Phasendichte. Dies ermöglicht uns die Entwicklung kinetischer Schemata zur Lösung der relativistischen Euler Gleichungen. Dieser kinetische Zugang erweist sich vor allem bei den ultra-relativistischen Euler Gleichungen als besonders nutzlich. In diesem Falle reduzieren sich die aus dem kinetischen Schema gewonnenen Momenten-integrale uber die Phasendichte auf einfache Oberflächenintegrale bezuglich der Einheitssphäre, und es läßt sich eine besonders einfache reduzierte En-tropiedichte angeben. Wir lösen das Riemannsche Anfangswertproblem fur eindimensionale Gasströmungen und vergleichen es mit numerischen Ver-fahren, die auf dem kinetischen Ansatz beruhen. Es gibt wichtige Unterschiede zwischen den kinetischen Verfahren fur klas-sische Euler Gleichungen auf der einen Seite und fur relativistische Euler Gleichungen bzw. fur das Phonon-Bose Gas auf der anderen Seite, die ein de-tailiertes Studium dieser beiden nichtklassischen Anwendungen rechtfertigt. Der wichtigste Unterschied ist die Möglichkeit, reduzierte Phasendichten, re-duzierte Momentenintegrale und reduzierte Entropien fur die beiden zuletzt genannten Anwendungen zu finden. Diese sind von wesentlich einfacherer Gestalt als die urspruglichen Grössen, enthalten aber dieselbe thermody-namische Information und lassen sich ohne Verwendung von Approximatio-nen rigoros herleiten. Die reduzierten Größen haben in beiden nichtklassischen Anwendungen dieselbe Bauart und lassen sich insbesondere fur eindi-mensionale Strömungen weiter sehr stark in einer Weise vereinfachen, die kein Analogon in der klassischen Theorie kennt. Ein weiterer Unterschied zur klassischen Theorie ist dadurch gegeben, daß sowohl in der relativistischen kinetischen Theorie als auch in der kinetischen Theorie des Phonon-Bose Gases jede Signalgeschwindigkeit global begrenzt ist, nämlich durch die Lichtgeschwindigkeit bzw. durch die sogenannte De-bye Geschwindigkeit. Dies hat verschiedene Vorteile fur die Analysis und Numerik der kinetischen Schemata, die in dieser Arbeit ebenfalls genutzt werden.
URI: https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/30710
http://dx.doi.org/10.25673/30567
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