Material plasticity : evolution of the stiffness tetrad in fiber materials with large plastic strain

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung einer phänomenologischen Theorie für große plastische Deformationen, welche die Entwicklung der Anisotropie beschreibt. Dazu wird eine allgemeine Theorie ausgearbeitet und neben verschiedenen Sonderfällen wird der Fall einer sogenannten materiellen Plastizitätstheorie näher untersucht. Dabei wird angenommen, dass die Achsen der Anisotropie als materielle Linienelemente deformiert werden. Diese Theorie wird z.B. auf faserverstärkte Materialien anwendbar sein. Der Hauptunterschied zu einer gebräuchlichen Plastizitätstheorie besteht in der unterschiedlichen Entwicklung der Steifigkeitstetrade und der spannungsfreien Platzierung während einer plastischen Deformation. Zur Verifizierung der Ergebnisse dieser Theorie und zur Identifizierung und zum Vergleich der Steifigkeitstetraden vor und nach großen plastischen Deformationen wird ein repräsentatives Volumenelement (RVE) mit einer faserigen Mikrostruktur verwendet. Dazu benutzen wir das Finite-Elemente-Programm Abaqus und dessen Skriptsprache Python. Uni-, bi- und tri-direktional verstärkte Proben werden berücksichtigt. Auf der Mikroskala wird ein finites elastisch-plastisches Materialmodell verwendet, das auf den Konzepten der Isomorphie und der maximalen plastischen Dissipation basiert. Nach der Berechnung der effektiven Steifigkeitstetraden der verschiedenen Materialproben untersuchen wir deren Entwicklung bei verschiedenen Deformationen. Zusätzlich stellen wir einen Algorithmus vor, um den Abstand einer so gemessenen Steifigkeitstetrade zu den verschiedenen Symmetrieklassen zu bestimmen. Dazu entwickeln wir eine Projektionsmethode mit einem Tensor 8. Stufe, der alle Gruppenelemente der gewählten Symmetriegruppe abdeckt. Im Anschluss ist es notwendig herauszufinden, wie man die Entwicklung der Steifigkeitstetrade vorhersagen kann. Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, diese Änderung mit ausreichender Genauigkeit mit einem zusätzlichen Tensor 2. Stufe zu beschreiben. Abschließend entwickeln wir eine analytische Evolutionsgleichung für diesen Tensor.

The objective of this work is to develop a phenomenological finite plasticity theory which describes the evolution of the anisotropy. We develop a framework of a general finite plasticity theory, some special cases are examined and the case of a so called Material Plasticity is examined more closely, assuming that the axes of anisotropy deform as material line elements. It will be applicable to, e.g., fiber reinforced materials. The main difference to a common plasticity theory is the different evolution of the stiffness tetrad and of the stress-free placement during a plastic deformation. For a verification of the results of this theory and to identify and compare the stiffness tetrads before and after large plastic deformations, a representative volume element (RVE) with a fibrous microstructure is used. Therefore we use the finite element program Abaqus and its scripting language Python. Uni-, bi- and and tri-directionally reinforced samples are considered. On the micro-scale, a finite elastic-plastic material model based on the concepts of isomorphy and maximum plastic dissipation is used. After calculating the effective stiffnesses of the different material samples, we investigate their evolution during different deformations. In addition, we present a fast algorithm to determine the distance of such a measured stiffness tetrad to all possible symmetries of an elastic stiffness tetrad. Therefore, we develop a projection method using an 8th-order tensor covering all group elements of the chosen symmetry group. Then it is necessary to find out how to predict the evolution of the stiffness tetrad. It turns out that it is possible to denote the change of the stiffness tetrad with sufficient accuracy using one additional 2nd-order tensor. We finally propose an analytical evolution equation for this tensor.