Structure-preserving model reduction for mechanical systems

Abstract

In this thesis, structure-preserving model order reduction for dynamical systems is studied. The particular focus lies on mechanical systems described by differential equations with second-order time derivatives. Different system classes are considered such as linear, bilinear and general nonlinear systems. Starting with the linear system case, existing theory from modal truncation and dominant poles is used to derive a new structurepreserving dominant pole algorithm for the special case of modally damped mechanical systems. Error bounds are proposed for this new method and an extension is suggested for further improvement of the approximation quality. In the sense of model order reduction with localized approximation behavior, structure-preserving extensions of the frequency- and time-limited balanced truncation methods for linear second-order systems are developed. Further approaches are discussed to counter the arising problem of stability preservation, and numerical methods are outlined to apply the model reduction methods to systems with large-scale sparse matrices. Moreover, the class of bilinear systems involving the multiplication of state and control variables is considered. Mainly motivated by the mechanical system case, a representation of structured bilinear systems in the frequency domain is developed. Considering the structured subsystem transfer functions as main object of interest, an interpolation framework is proven for structure-preserving model order reduction of these special nonlinear systems. Thereafter, this framework is extended to the case of structured parametric bilinear systems. Tangential interpolation can be used in case of linear multi-input/multi-output systems to carefully steer the resulting dimensions of constructed reduced-order models in contrast to the approach of matrix interpolation, which depends on the input and output dimensions of the original system. Based on different motivations, a similar theory for tangential interpolation is developed for structured bilinear systems. Structured systems with more general nonlinearities are considered last, where the process of quadratic-bilinearization is used to rewrite the systems into a form with easier manageable nonlinearities. Similar to the bilinear system case, a particular nonlinear mechanical system example is used to derive structured representations of quadratic-bilinear systems in the frequency domain. Based on that, a variety of transfer function interpolation results are developed for structure-preserving model reduction of quadratic-bilinear systems. Numerical experiments are used for all introduced model reduction approaches to validate the developed theoretical results and compare them to known model reduction methods from the literature.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit strukturerhaltender Modellordnungsreduktion für dynamische Systeme. Dabei liegt der besondere Schwerpunkt auf mechanischen Systemen mit Zeitableitungen zweiter Ordnung. Es werden verschiedene Systemklassen wie z.B. lineare, bilineare und Systeme mit allgemeineren Nichtlinearitäten betrachtet. Beginnend mit dem linearen Systemfall wird ein neuer strukturerhaltender Dominant-Pole-Algorithmus für modal gedämpfte, mechanische Systeme entwickelt. Dieser basiert auf bekannter Theorie über modales Abschneiden und dominante Pole. Es werden Fehlerschranken für diese Methode bewiesen und eine Erweiterung vorgeschlagen, um das Approximationsverhalten weiter zu verbessern. Im Sinne von Modellordnungsreduktion mit lokalisierter Approximation werden frequenz- und zeitbeschränktes balanciertes Abschneiden zu strukturerhaltenden Methoden für lineare Systeme zweiter Ordnung erweitert. Um dem Verlust der Stabilitätserhaltung entgegenzuwirken und um die Modellreduktionsmethoden auch im Fall von großen, dünnbesetzten Systemen zweiter Ordnung anwenden zu können werden weitere Ansätze diskutiert und numerische Verfahren skizziert. Des Weiteren wird die Klasse der bilinearen Systeme, welche das Produkt aus Zustands- und Steuerungsvariablen enthalten, betrachtet. Hauptsächlich motiviert durch den mechanischen Fall wird eine Darstellung von strukturierten, bilinearen Systemen im Frequenzbereich entwickelt. Zur strukturerhaltenden Modellreduktion dieser speziellen nichtlinearen Systeme wird ein Interpolationsansatz hergeleitet, bei welchem die strukturierten Übertragungsfunktionen als zu interpolierende Objekte betrachtet werden. Darauffolgend wird dieser Ansatz auf den Fall von strukturierten, parametrischen, bilinearen Systemen erweitert. Tangentiale Interpolation bietet im Fall von linearen Mehrgrößensystemen die Möglichkeit, die Dimensionen des konstruierten, reduzierten Modells besser zu kontrollieren, welche beim Ansatz der Matrixinterpolation an die Anzahl der Ein- und Ausgänge gebunden sind. Basierend auf verschiedenen Motivationsbeispielen wird eine ähnliche Theorie für strukturierte, bilineare Systeme entwickelt. Den Abschluss bildet die Betrachtung von Systemen mit allgemeineren Nichtlinearitäten. Es wird die Methode der quadratischen Bilinearisierung benutzt, um diese Systeme in eine Form umzuschreiben, welche einfachere Nichtlinearitäten beinhaltet. Ein spezielles nichtlineares, mechanisches Beispiel wird verwendet um ähnlich zum bilinearen Fall strukturierte Darstellungen im Frequenzbereich herzuleiten. Es wird eine Vielzahl von Ergebnissen zur Übertragungsfunktionsinterpolation entwickelt, welche der strukturerhaltenden Modellordnungsreduktion von quadratisch bilinearen Systemen dienen. Numerische Experimente werden für alle entwickelten Modellreduktionsmethoden benutzt um sowohl die theoretischen Resultate zu validieren, als auch diese neuen Methoden mit anderen bekannten Modellreduktionsmethoden aus der Literatur zu vergleichen.