Testing of distributions, minimax optimality and extensions

Abstract

The subject of this thesis is a minimax optimal study of statistical inference, with a focus on hypothesis testing. This will give us the opportunity of reviewing tools and ideas from the literature of estimation and testing of discrete and continuous distributions. In the course of our analysis, we will explore several extensions of classical minimax statistical problems. The first one is a local refinement of the minimax framework and we will contribute by obtaining local minimax optimal rates for closeness testing. The second is the study of minimax optimal methods while preserving the privacy of data sets. Our contribution in that area will be minimax rates for identity testing under local differential privacy. Finally, we extend the scope of our study to a sequential setting, where we will employ techniques from bandit theory in order to obtain the first minimax rate for adaptive rejection sampling.

Gegenstand dieser Dissertation ist die Untersuchung inferenzstatistischer Methoden - insbesondere von Hypothesentests - auf Minimax-Optimalität. Wir werden Ideen und Techniken untersuchen, die bereits in der Literatur zum Schätzen und Testen für diskrete oder auch stetige Verteilungen vorhanden sind. Im Verlauf unserer Analyse werden wir verschiedene Erweiterungen klassischer statistischer Minimax-Probleme untersuchen. Die Erste ist eine lokale Verfeinerung des Minimax-Frameworks und wir zeigen neue lokale Minimax-optimale Raten für Closeness Testing. Die Zweite ist die Untersuchung der optimalen Minimax-Methoden unter Wahrung der Privacy von Datensätzen. Unser Beitrag in diesem Bereich sind Minimax-Raten für Anpassungstests unter lokaler differenzieller Privatsphäre. Anschließend erweitern wir unsere Resultate auf eine sequentielle Umgebung, wobei wir Techniken aus der Banditentheorie anwenden, um erstmalig eine Minimax-Rate für eine solche adaptive Testmethode zu erhalten - bisher gab es in der Literatur keine Resultate dafür.