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http://dx.doi.org/10.25673/111609
Titel: | Temporal multiscale simulations for multiphysics problems |
Autor(en): | Soszyn´ska, Martyna Aleksandra |
Gutachter: | Richter, Thomas![]() |
Körperschaft: | Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik |
Erscheinungsdatum: | 2023 |
Umfang: | vi, 138 Seiten |
Typ: | Hochschulschrift![]() |
Art: | Dissertation |
Tag der Verteidigung: | 2023 |
Sprache: | Englisch |
URN: | urn:nbn:de:gbv:ma9:1-1981185920-1135635 |
Schlagwörter: | Numerische Mathematik Partielle Differentialgleichungen Temporal multiscale simulations Multiphysics problems |
Zusammenfassung: | We introduce novel time discretization schemes for coupled systems of partial differential
equations. Our main focus is systems that are defined over spatially distinct domains with
a common interface, where the coupling is enforced. We also look at volume coupled models
defined over the same domain. Fluid-structure Interactions are one type of important application
problem that fall into this framework.
Each of the physical problems can be governed by a different type of equations and therefore
can exhibit different dynamics. In traditional methods, the time-step size has to be
the same for both of the systems and adjusted to the subproblem with faster dynamics. As
a result, the time-step size in the other one is unnecessarily small. Our aim is to develop
time discretization schemes allowing for different time-step sizes without violating the coupling
conditions. We introduce a hierarchy of time meshes - a common uniform coarse mesh
and a second, finer mesh that can be chosen independently. The problems are formulated
within the space-time framework which allows us access to the apparatus usually reserved
for space discretization only. Although the formulation is monolithic, we solve the systems
sequentially relying on a partitioned approach. To resolve the coupling conditions, special
decoupling algorithms are introduced. Two such algorithms are discussed, namely a relaxation
and a shooting method. We further develop an a posteriori error estimator based on
the Dual Weighted Residual method and define the necessary adjoint formulations needed for
this approach. The estimator is then used as an adaptivity criterion. We numerically test the
performance of both of the decoupling strategies as well as the error estimator for a series of
test problems.
We further expand our results by proving theoretical estimates and show error estimates
for the implicit Euler time-stepping scheme. The starting point consists of a simple system
of ordinary differential equations. It is then followed by the analysis of two heat equations
coupled across a common interface scaled by different diffusivity constants. As the final problem,
we look at an analogous Stokes equations system. We study both semi-discrete as well
as fully discrete cases. For the Stokes problem, the estimates are proved in a special newly
defined norm that incorporates the coupling conditions. Wir stellen ein neuartiges Zeitdiskretisierungsverfahren für gekoppelte Systeme von partiellen Differentialgleichungen vor. Wir untersuchen vornehmlich Systeme über räumlich getrennten Domänen mit einer gemeinsamen Schnittstelle, an welcher die Kopplungsbedingung forciert wird. Wir betrachten ebenfalls volumengekoppelte Modelle über der gleichen Domäne. Zu dieser Klasse von Problemen gehören unter anderem wichtige Anwendungsgebiete wie Flüssigkeits-Feststoff-Interaktion. Jedes physikalische Problem kann durch eine andere Art von Gleichungen bestimmt werden und entsprechend unterschiedliche Dynamiken aufweisen. Bei traditionellen Methoden muss die Zeitschrittgröße für beide Systeme übereinstimmen und an das Unterproblem mit schnelleren Dynamiken angepasst werden. Als Ergebnis ist die Zeitschrittgröße im anderen Unterproblem unnötig klein. Unser Ziel ist es, Zeitschrittdiskretisierungsverfahren zu entwickeln, die unterschiedliche Zeitschrittgrößen ohne Verletzung der Kopplungsbedingungen ermöglichen. Wir stellen eine Zeitgitterhierarchie vor - ein grobes Gitter, das überall gleich ist, und ein zweites, feineres Gitter, das unabhängig gewählt werden kann. Wir formulieren die Probleme unter Verwendung des Orts-Zeit-Zugangs, der uns den Zugang zu Methoden ermöglicht, die normalerweise nur für die Raumdiskretisierung zur Verfügung stehen. Obwohl die Formulierung monolithisch ist, lösen wir die Systeme sequentiell unter Verwendung eines partitionierten Ansatzes. Um die Kopplungsbedingungen zu lösen, führen wir spezielle Entkopplungsalgorithmen ein. Wir schlagen zwei dieser Algorithmen vor – das Relaxationund das Shooting-Verfahren. Wir entwickeln weiterhin einen a-posteriori Fehlerabschätzer, welcher auf der Dual Weighted Residual-Methode basiert. Wir definieren darüberhinaus die notwendigen dualen Probleme, die für diesen Ansatz erforderlich sind. Der Schätzer wird dann als Adaptivitätskriterium verwendet. Wir testen die Leistung beider Entkopplungsstrategien sowie des Fehlerschätzers für eine Reihe von Testproblemen numerisch. Wir erweitern unsere Ergebnisse darüber hinaus mit theoretischen Abschätzungen und beweisen Fehlerschranken für die implizite Euler-Zeitschrittmethode. Wir beginnen mit einfachen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Darauf folgt eine Analyse zweier Diffusionsgleichungen, die über eine gemeinsame Schnittstelle gekoppelt sind und über verschiedene Wärmeleitkoeffizienten skaliert werden. Als letztes Problem betrachten wir ein analoges System von Stokes-Gleichungen sowohl im semi-diskreten als auch im gänzlich diskreten Fall. Die Schätzungen für das Stokes-Problem werden mit Hilfe einer speziellen, neu definierten Norm bewiesen, welche auf den Kopplungsbedingungen aufbaut. |
URI: | https://opendata.uni-halle.de//handle/1981185920/113563 http://dx.doi.org/10.25673/111609 |
Open-Access: | ![]() |
Nutzungslizenz: | ![]() |
Enthalten in den Sammlungen: | Fakultät für Mathematik |
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