Analysis of coupling interface problems for bi-domain diffusion equations

Abstract

In this thesis we study various numerical interface coupling conditions for diffusion equations in bio-physics or heat conduction problems. For this we take a one-dimensional case of a 3D model of Falcke [7] with two coupling conditions. The coupling interface conditions are given in Thul [37]. Originally they considered a system that models the intracellular calcium dynamics in a realistic fashion between the cytosolic region and the endoplasmic reticulum (ER) region of a living cell via channels on the membrane which separates both regions. The phenomenon of calcium dynamics is a multi-domain phenomenon. We analyze a numerical mathematical problem related to the calcium transport, i.e. a bi-domain problem with coupling conditions. In order to understand fundamental numerical issues better, we make an analytical and computational study of the one dimensional case derived from the three dimensional model of Falcke [7]. We compare these with other related coupling conditions. The coupling conditions that we consider in this thesis include the well-known Dirichlet-Neumann coupling, the heat ux coupling, a channel pumping, a simplified channel pumping, a membrane pumping and its special cases simplified membrane pumping and linearized membrane pumping conditions. We implemented three coupling algorithms namely, an explicit coupling algorithm (A1), an implicit monolithic coupling algorithm (A2), an implicit partitioned iterative coupling algorithm (A3) for the various coupling conditions with bi-domain diffusion equations. The partitioned iterative approach is a bit more complicated because we have the two unknowns corresponding to the each sub-domain. Despite this problem we manage to achieve a numerical solution via sub-iterations. Such algorithms may be useful for parallel computation. The main emphasis of this work is to study the numerical properties of coupling conditions. We give a detailed account of the Godunov-Ryabenkii stability theory for coupling conditions that was introduced by Giles [10] for this purpose. An important point is to maintain conservativity of the overall scheme. Therefore, we first study this property for the coupling conditions. Unfortunately, Giles neglected to maintain conservativity of his scheme and by using an inconsistent scheme produced artificial instabilities. We show how conservativity is maintained in nodal based as well as finite volume type discretizations. Nodal based schemes need a central difference approximation with respect to the node at the coupling boundary. Finite volume schemes have to use one sided difference with respect to the cell center. It is a central difference with respect to the cell boundary which is also the interface boundary. An analogous result is shown for the homogeneous Neumann outer boundary condition. We then proceed to prove stability for these coupling conditions. For this purpose we prove a lemma that describes in detail properties of the solutions to the normal mode equations that are useful to Godunov-Ryabenkii analysis of the coupling conditions. For comparison we first treat some boundary conditions related to ux coupling conditions. The simplest coupling, which was the one considered by Giles [10], is Dirichlet-Neumann coupling. The more complex couplings considered in this thesis lead to additional conditional stability conditions. The theoretical results on conservativity and stability are confirmed in computations for a variety of test cases.

In dieser Arbeit werden verschiedene Kopplungsbedingungen für die Diffusionsgleichung aus der Biophysik oder aus Problemen im Bereich der Wärmeleitung numerisch unter-sucht. Hierfür wird ein eindimensionaler Fall des 3D Modells von Falcke [7] mit zwei Kopplungsbedingungen verwendet. Die Kopplungsbedingungen an der Grenzfläche sind Thul [37] entnommen. Ursprünglich betrachteten sie ein System, das die intrazelluläre Kalziumdynamik in realistischer Weise zwischen der zytosolischen Region und der Re-gion des Endoplasmatischen Retikulums (ER) einer lebenden Zelle über Kanäle auf der Membran, welche die beide Regionen trennt, modelliert. Das Phänomen der Kalziumdynamik ist ein Phänomen mehrerer gekoppelter Ge-biete. Wir untersuchen ein mathematisches Problem, das mit dem Kalziumtransport zusammenhängt. Es ist ein Problem mit Kopplungsbedingungen zwischen zwei Teil-intervallen. Um grundlegende numerische Fragen besser zu verstehen, führen wir an-alytische und rechnerische Untersuchungen des eindimensionalen Falls durch, der aus dem dreidimensionalen Modell von Falcke abgeleitet wurde [7]. Wir vergleichen diese mit anderen verwandten Kopplungsbedingungen. Die Kopplungsbedingungen, die wir in dieser Arbeit betrachten, umfassen die bekannte Dirichlet-Neumann-Kopplung, die Wärmeflusskopplung, ein Kanalpumpen, ein vereinfachtes Kanalpumpen, ein Membran-pumpen und seine Spezialfälle vereinfachtes Membranpumpen sowie linearisiertes Mem-branpumpen. Wir implementierten drei Kopplungsalgorithmen, nämlich einen expliziten Kopplungsal-gorithmus (A1), einen impliziten monolithischen Kopplungsalgorithmus (A2), sowie einen impliziten partitionierten iterativen Kopplungsalgorithmus (A3) für die verschiedenen Kopplungensbedingungen. Der partitionierte iterative Ansatz ist dabei etwas komplizierter, da wir zwei unbekannte Vektoren haben, die den jeweiligen Unterbereichen entsprechen. Trotz dieser Schwierigkeiten erhalten wir eine numerische Lösung des Problems mithilfe sogenannter sub-Iterationen. Derartige Vorgehensweisen können für paralleles Rechnen nützlich sein. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der numerischen Eigen-schaften von Kopplungsbedingungen. Wir geben eine detaillierte Darstellung der Godunov-Ryabenkii-Stabilitätstheorie für Kopplungsbedingungen, die von Giles [10] zu diesem Zweck eingeführt wurde. Ein wichtiger Punkt ist die Aufrechterhaltung der Erhaltung-seigenschaft des Gesamtsche-mas. Deshalb untersuchen wir zunächst die Kopplungsbe-dingungen auf diese Eigenschaft. Leider hat Giles es versäumt, eben diese Eigenschaft seines Schemas beizubehalten, und durch die Verwendung eines inkonsistenten Schemas künstliche Instabilitäten erzeugt. Wir zeigen, wie die Erhaltungseigenschaft sowohl bei knotenbasierten als auch bei finite Volumen Diskretisierungen beibehalten wird. Knoten-basierte Schemata benötigen eine zentrale Differenzenapproximation in Bezug auf den Knoten an der Kopplungsgrenze. Finite Volumen Verfahren müssen eine einseitige Dif-ferenz in Bezug auf das Zellzentrum verwenden. Dies kann auch als eine zentrale Differenz in Bezug auf die Zellgrenze, welche gleichzeitig die Grenzfläche darstellt, aufgefasst wer-den. Ein analoges Resultat gilt auch für homogene Neumann Randbedingungen Wir fahren fort mit dem Nachweis der Stabilität für diese Kopplungsbedingungen. Zu diesem Zweck beweisen wir ein Lemma, welches Eigenschaften der Lösungen der Normalmodengleichungen, die für die Godunov-Ryabenkii-Analyse der Kopplungsbedingun-gen nützlich sind, detailliert beschreibt. Zum Vergleich behandeln wir zunächst einige Randbedingungen, die mit den Kopplungsbedingungen der Wäremleitung zusammenhängen. Die einfachste Kopplung, die von Giles [10] betrachtet wurde, ist die Dirichlet-Neumann-Kopplung. Die in dieser Arbeit betrachteten komplexeren Kopplungen führen zu zusätzlichen Stabilitätsbedingungen. Die theoretischen Ergebnisse zur Erhaltungseigenschaft und Stabilität werden für eine Vielzahl von Testfällen durch numerische Berechnungen bestätigt.