Model-based analysis of chromatographic processes with implicit sorption isotherms

Abstract

Chromatography is a powerful separation method that is used in many different industries like chemical, pharmaceutical, and food industry. In the last two decades, chromatography received an immensely increased attention in biotechnology involving the separation of amino acids or even more importantly the separation of proteins. In general, chromatographic processes contribute crucially to a high cost of the corresponding overall process chains. Consequently, there is a high demand on their optimization through efficient process design and control. Both, design and control require a deep understanding of the process, which can be model-based or data-driven. In this thesis, model-based analysis is applied in order to predict qualitative process properties as well as quantitatively the process behavior through an analytical and a numerical approach, respectively. The analytical approach used in this work results from the application of the equilibrium theory, which is based on an idealized model of spatially distributed packed bed sorption units assuming thermodynamic equilibrium between the fluid and the solid phase. The model represents a system of first-order quasi-linear partial differential equations and admits the analytical approach using the method of characteristics if the system is also hyperbolic. Thermodynamic equilibrium is described by the sorption isotherm, which represents the essential non-linearity of the system and determines crucial properties like hyperbolicity. Previous approaches have been limited to explicit sorption isotherms including Langmuir, Bi-Langmuir, and generalized Langmuir isotherms. In this work, processes with implicit sorption isotherms are considered. This generalized class of sorption isotherm is often required for an accurate process description. Consequently, the numerical approach presented in this thesis aims at an efficient numerical simulation of idealized chromatographic processes with implicit sorption isotherms. For demonstration purposes, two important classes of implicit sorption isotherms are considered for both approaches. One is derived from the ideal adsorbed solution theory, while the other results from the law of mass action. First, focus is on the applicability of the numerical approach to an idealized chromatographic model with adsorption described by the ideal adsorbed solution theory. In particular, a reformulation strategy is introduced, which is combined with a method of lines approach. As a result, the simultaneous solution of the resulting differential algebraic equations (DAEs) is possible, thus avoiding explicit differentiation of the sorption isotherm. Efficiency of this approach and applicability of standard DAE software requires a differential index of one. For this purpose, the relation between the differential index of the DAE system and the spectral properties of the underlying adsorption equilibrium is established. In particular, it is shown that real and positive eigenvalues of the Jacobian derived from the adsorption isotherm represent a sufficient condition. This condition is also shown to be satisfied necessarily for binary mixtures with any type of single component adsorption isotherm or for multicomponent mixtures with certain restricted types of single component isotherms. The new method is illustrated for different explicit and even implicit single component adsorption isotherms belonging to this class. Numerical efficiency is quantitatively demonstrated through comparison with various solution approaches using the state-of-the-art modified FastIAS method. An additional validation of numerical solutions is realized through comparison with semi-analytically obtained solutions from equilibrium theory. Second, versatility of the numerical approach through application to an idealized chromatographic model with a significantly different sorption isotherm, the stoichiometric mass action law with constant solution normality for classical ion exchange processes, is demonstrated. It is proven that hyperbolicity of the model equations and non-negativity of the related eigenvalues implies a differential index of one, which greatly alleviates the numerical solution since it is often satisfied for thermodynamically consistent sorption isotherms. Classical theoretical results from equilibrium theory are summarized and further extended to full chromatographic cycles and pulse patterns, which are of major interest in chromatography. For validation purposes, semi-analytical solutions are compared to the numerical calculations for different scenarios. Focus is on selectivity reversals and their influence on process operation in general. Further, specific phenomena are discussed including the singular character of the origin with respect to a selectivity reversal as well as additional effects of multiple reversals. Third, the analytical approach is extended by applying the equilibrium theory rigorously to advanced ion exchange processes that account for steric effects and a variable solution normality. This extension allows the equilibrium theory-based results to become available for applications in the field of bioseparations including the important separation of proteins. Analytical solutions are obtained for full chromatographic cycles consisting of the loading of an empty bed equilibrated at different counter-ion concentrations followed by the complete regeneration of the target components. Theoretical results regarding selectivity reversals are extended as well. A variable solution normality is shown to potentially introduce selectivity reversals and / or increase the number of selectivity reversals that affect the chromatographic cycle. For an improved understanding, the effect of steric hindrance and variable solution normality are investigated both separately as well as jointly in three suitable case studies. Theoretical findings for all cases were validated by comparison with results obtained from the numerical approach, which is extended accordingly. New phenomena such as the unique solution to non-strict hyperbolic cases or the global properties of the ion exchange sorption are analyzed in detail. Finally, an extension of the triangle theory, which is based on results of the equilibrium theory for true moving bed processes involving two components, to classical ion exchange sorption is presented. Thus, rational design of the related simulated moving bed processes in conjunction with ion exchange sorption becomes available. Results are verified by simulations of the true moving bed process. For this purpose, the numerical approach is also extended to this advanced separation method.

Eines der wichtigsten Trennverfahren für Mehrkomponentengemische im flüssigen oder gasförmigen Zustand ist die Chromatographie. Sie ist etabliert in einer Vielzahl von Industrien, wie z.B. der chemischen und der pharmazeutischen Industrie oder auch der Nahrungsmittelindustrie. In den letzten zwei Jahrzehnten hat sich das Hauptanwendungsgebiet mehr und mehr in den Bereich der Biotechnologie verschoben, da sich die Chromatographie hier als effektives Trennverfahren für Grundbausteine biotechnologischer Anwendungen, den Aminosäuren und den Proteinen, erwiesen hat. Sind chromatographische Prozesse Teil einer industriellen Prozesskette, tragen diese meist zu einem erheblichen Teil an den gesamten Prozesskosten bei. Aus diesem Grund ist die Optimierung chromatographischer Prozesse von zentraler Bedeutung. Umsetzung der Optimierung erfolgt durch entsprechend effizientes Prozessdesign und / oder Regelungsstrategien. Grundvoraussetzung für beide Optimierungskonzepte ist ein tiefgründiges Prozessverständnis. Dieses Verständnis kann entweder auf der Grundlage von physikalischen Gesetzen oder allein auf Grundlage von messbaren Daten gewonnen werden. Ersteres erlaubt eine prädiktive mathematische Darstellung des Prozesses durch klassische Modelle, während letzteres auf eine mathematische Darstellung durch Ersatzmodelle beschränkt ist die eine Reproduzierbarkeit der Messdaten erlaubt aber keine Prädiktion darüber hinaus. In dieser Dissertation werden analytische und numerische Ansätze für die Analyse klassischer Modelle entwickelt, welche dementsprechend die Vorhersage von qualitativen Prozesseigenschaften und auch des quantitativen Prozessverhaltens ermöglichen. Der in dieser Arbeit verwendete analytische Ansatz basiert auf der Anwendung der sogenannten Gleichgewichtstheorie. Diese Theorie resultiert aus der Annahme eines bestimmten Gleichgewichtsmodells, dem idealen Modell örtlich verteilter Festbettprozess in der Chromatographie. Gleichgewicht bezieht sich in diesem Fall auf das thermodynamische Gleichgewicht zwischen fluider und fester Phase. Die Modellierung führt auf ein System quasi-linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, welches die Möglichkeit analytischer Lösungen basierend auf der Methode der Charakteristiken eröffnet. Die Anwendbarkeit der Methode setzt jedoch Hyperbolizität des Gleichungssystems voraus. Die Nicht-linearität in diesem Gleichungssystem wird allein durch die Sorptionsisotherme definiert, und sie bestimmt damit wichtige Eigenschaften des Gleichungssystems wie z.B. Hyperbolizität. Die Isotherme resultiert aus der Modellierung des thermodynamischen Gleichgewichts. In der Vergangenheit wurde die Anwendung der Gleichgewichtstheorie stets auf explizite Sorptionsisothermen beschränkt. Die wichtigsten Vertreter sind due Langmuir-, die Bi-Langmuirund die verallgemeinerte Langmuir-Isotherme. Mit Hinblick auf eine erweiterte Anwendbarkeit wird in dieser Arbeit die verallgemeinerte Klasse der impliziten Sorptionsisothermen betrachtet. Dies gilt auch für die Entwicklung effizienter numerischer Lösungsverfahren. Zu Demonstrationszwecken werden zwei der wichtigsten impliziten Sorptionsisothermen basierend auf der Theorie der ideal adsorbierten Lösung beziehungsweise auf dem Massenwirkungsgesetz für den analytischen wie auch den numerischen Ansatz betrachtet. Zuerst wird die Anwendbarkeit des entwickelten numerischen Lösungsansatzes an Hand des idealen Modells mit Adsorptionsisothermen basierend auf der Theorie der ideal adsorbierten Lösung demonstriert. Hierbei wird die Kernidee der Umformulierung des Systems partieller Differentialgleichungen präsentiert. Dieses neu formulierte Gleichungssystem wird anschließend mittels der Linienmethode in ein System bestehend aus Differential-algebraischen Gleichungen überführt, welche simultan ohne explizites Differenzieren der Adsorptionsisothermen gelöst werden können. Das effiziente numerische Lösen von Differential-algebraischen Gleichungssystemen, insbesondere bei der Nutzung von geeigneter Standardsoftware, erfordert einen Differentiationsindex gleich eins. Zu diesem Zweck wurde ein Zusammenhang zwischen dem Differentiationsindex und der Spektraleigenschaften des zu Grunde liegenden Adsorptionsgleichgewichts hergestellt. Sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix abgeleitet aus der Isothermen reell und positiv, so ist dies hinreichend für einen Differentiationsindex gleich eins. Es wird zudem gezeigt, dass diese hinreichende Bedingung im Falle von binären Gemischen für beliebige Reinstoffisothermen erfüllt ist jedoch nicht für Mehrstoffgemischen mit mehr als zwei Komponenten. Letzter Fall bedarf weiterer Einschränkungen bezüglich der Reinstoffisothermen. Das entwickelte numerische Lösungsverfahren wird durch Beispiele mit kompatiblen expliziten und sogar kompatiblen impliziten Reinstoffisothermen veranschaulicht. Für explizite Reinstoffisothermen gibt es die numerisch sehr effiziente ’modified FastIAS’ Lösungsmethode, welche durch Vergleich mit dem entwickelten numerischen Lösungsansatz dessen Effizienz quantitativ bestätigt. Zudem werden die numerisch bestimmten Lösungen mit Hilfe der Gleichgewichtstheorie durch entsprechende semi-analytische Lösungen validiert. Als zweites wird der numerische Lösungsansatz auf das ideale Modell mit einer sich zur obigen grundlegend unterscheidenden impliziten Isothermen basierend auf dem Massenwirkungsgesetz mit konstanter Lösungsnormalität für den klassischen Ionenaustausch angewendet, wodurch die Flexibilität der Anwendbarkeit des numerischen Ansatzes veranschaulicht wird. In diesem Fall ist ein Differentiationsindex von eins garantiert, wenn die Modellgleichungen hyperbolisch sind und die damit in Verbindung stehenden Eigenwerte nichtnegativ sind. Diese Bedingung ist für thermodynamisch konsistente Isothermen häufig erfüllt. Zudem werden klassische Ergebnisse der Gleichgewichtstheorie zusammengefasst und durch die Einbeziehung von chromatographischen Zyklen sowie von Pulsmustern erweitert. Die Validierung numerischer Ergebnisse erfolgt durch Vergleich mit semi-analytischen Ergebnissen der Gleichgewichtstheorie für verschiedene Prozessszenarien. Hauptaugenmerk liegt bei Simulationen und theoretischer Analyse auf dem Phänomen der Selektivitätsumkehr und den damit verbundenen allgemeinen Auswirkungen auf den Trennprozess. Des Weiteren wird zum einen die Rolle des Koordinatenursprungs im Zusammenhang mit der Selektivitätsumkehr diskutiert und zum anderen werden die Auswirkungen mehrerer Selektivitätsumkehrungen untersucht. Als drittes wird der analytische Ansatz durch rigorose Anwendung der Gleichgewichtstheorie auf Ionenaustauschprozesse mit variabler Lösungsnormalität und sterischen Effekten erweitert. Folglich stehen die mit der Gleichgewichtstheorie verbundenen Ergebnisse auch im Bereich der Bioseparation zur Verfügung. Dies gilt insbesondere auch für die bedeutende Trennung von Proteinen. Analytische Lösungen werden für vollständige chromatische Zyklen bestimmt. Dabei besteht ein Zyklus aus der zusätzlichen Beladung einer ausschließlich mit Gegenionen beladenen und auch im Gleichgewicht stehenden Ionenaustauschsäule mit zu trennenden Zielkomponenten und weiteren Gegenionen gefolgt von der vollständigen Regeneration der Zielkomponenten. Eine weitere wichtige Erweiterung theoretischer Ergebnisse erfolgt in Bezug auf die Selektivitätsumkehr. Die nun variable Lösungsnormalität kann die unmittelbare Ursache einer Selektivitätsumkehr während eines chromatographischen Zyklus sein und / oder allgemein die Anzahl an Selektivitätsumkehrungen in einem Zyklus erhöhen. Um die verschiedenen Effekte der variablen Lösungsnormalität und der sterischen Hinderung zu verdeutlichen werden beide Eigenschaften in zwei Fallstudien getrennt voneinander betrachtet. Eine dritte Fallstudie untersucht die Effekte unter der Annahme dass beide Eigenschaften gleichzeitig präsent sind. Die semi-analytischen Ergebnisse aller drei Fallstudien werden zur Validierung mit Simulationen basierend auf dem entwickelten numerischen Lösungsansatz abgeglichen. Zu diesem Zweck wurde der numerische Lösungsansatz entsprechend auf diese Ionenaustauschprozesse erweitert. Zudem werden weitere Phänomene wie die Eindeutigkeit der Lösung eines nicht strikt hyperbolischen Spezialfalles wie auch globale Eigenschaften des Ionenaustausches im Detail untersucht. Zuletzt wird eine Erweiterung der Dreieckstheorie auf klassische Ionenaustauschprozesse präsentiert. Diese Theorie basiert auf den Ergebnissen der Gleichgewichtstheorie angewendet auf ’True Moving Bed’-Prozesse für Zweikomponentengemische. Dementsprechend ist die darauf basierende Designprozedur für ’Simulated Moving Bed’-Prozesse auch bei Verwendung von Ionenaustauschsäulen verfügbar. Die theoretischen Ergebnisse werden durch Simulationen des ’True Moving Bed’-Prozesses validiert, wofür der numerische Ansatz entsprechend auf diese weiterentwickelten Trenntechnologie erweitert wurde.