Efficient algorithms for solving structured Eigenvalue problems arising in the description of electronic excitations

Abstract

This dissertation is located in the field of numerical linear algebra. It proposes algorithms for solving structured eigenvalue problems arising in electronic structure computations. Matrices arising in linear-response time-dependent density functional theory and many-body perturbation theory, in particular in the Bethe-Salpeter approach, show a 2 2 block structure. We show that they can also be characterized with the help of non-Euclidian scalar products. The motivation to devise new algorithms, instead of using general purpose eigenvalue solvers, comes from the need to solve large problems on high performance computers. This requires parallelizable and communication-avoiding algorithms and implementations. After giving some mathematical, computational and physical background knowledge, this thesis documents the extension of an optimized HPC library for solving skew-symmetric eigenvalue problems on distributed memory machines. This procedure is used to solve a specific form of Bethe-Salpeter eigenvalue problem under certain definiteness conditions. For crystalline systems, the periodicity of the lattice may be exploited to arrive at a different form of the Bethe-Salpeter eigenvalue problem. Here, it is possible to reduce the matrix dimension by half. Under the mentioned definiteness conditions, the resulting eigenvalue problem is Hermitian positive definite. Accuracy may be improved by employing a singular value decomposition instead of solving an implicitly squared eigenvalue problem. A high performance implementation is not yet available but easy to realize with basic linear algebra routines. In the second half of this thesis, the focus shifts towards the development of new algorithms, which do not yet have a high performance implementation but show high potential in this regard. We develop algorithms for computing generalized concepts of polar decompositions and QR decompositions. Generalized polar decompositions are computed via iterations where the number of steps can be known a priori. The iteration steps employ routines for which communication-avoiding implementations exist. Further options of parallelization are available making the algorithm promising for high performance computing. Several heuristics to improve the accuracy of the involved computations are proposed. The motivating eigenvalue problems, stemming from electronic structure theory, fall into the category of pseudosymmetric eigenvalue problems. We develop a new algorithm for this class of problems, by generalizing ideas from the method of spectral divide-and-conquer for symmetric matrices. They are applied in a setting defined by indefinite scalar products. Pseudosymmetry is preserved throughout the computations. Generalized polar decompositions and generalized QR decompositions are necessary tools in the presented algorithm.

Diese Dissertation ist im Feld der numerischen linearen Algebra angesiedelt. Sie stellt Algorithmen zur Lösung strukturierter Eigenwertprobleme, die sich bei der Berechnung der elektronischen Struktur von Materie ergeben, vor. Matrizen aus der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie im Regime der linearen Antwort sowie der Vielteilchen-Störungstheorie, insbesondere im Bethe-Salpeter Ansatz, zeigen eine 2 2 Blockstruktur. Wir zeigen, dass diese Strukturen außerdem mithilfe von nichteuklidischen Skalarprodukten charakterisiert werden können. Die Motivation, neue Algorithmen zu entwickeln, statt allgemeine Löser zu verwenden, ergibt sich aus der Notwendigkeit, große Probleme auf Hochleistungsrechnern zu lösen. Hierzu werden parallelisierbare Algorithmen und Implementierungen benötigt, die außerdem unnötige Kommunikation vermeiden. Nach einleitenden Voraussetzungen aus der Mathematik, der Informatik und der Physik dokumentiert diese Arbeit die Erweiterung einer optimierten HPC Bibliothek zur Lösung schiefsymmetrischer Eigenwertprobleme auf Maschinen mit verteiltem Speicher. Diese Prozedur wird genutzt, um eine spezifische Form des Bethe-Salpeter- Eigenwertproblems unter gewissen Definitheitsbedingungen zu lösen. Für kristalline Systeme kann die Periodizität des Gitters genutzt werden, um zu einer anderen Form des Bethe-Salpeter-Eigenwertproblems zu gelangen. Hier ist es möglich, die Matrixdimension um die Hälfte zu verringern. Unter den genannten Definitheitsbedingungen ist das resultierende Eigenwertproblem hermitsch positiv definit. Die Genauigkeit kann verbessert werden, wenn eine Singulärwertzerlegung genutzt wird, statt implizit ein quadriertes Eigenwertproblem zu lösen. Eine Implementierung auf Hochleistungsrechnern ist noch nicht verfügbar, aber leicht umzusetzen mit grundlegenden Operationen der linearen Algebra. Die zweite Hälfte dieser Arbeit konzentriert sich auf die Entwicklung neuartiger Algorithmen, die noch keine Implementierung für Hochleistungsrechner besitzen, diesbezüglich aber ein großes Potenzial zeigen. Wir entwicklen Algorithmen zur Berechnung verallgemeinerter Konzepte von Polarzerlegungen und QR Zerlegungen. Verallgemeinerte Polarzerlegungen werden mithilfe von Iterationen berechnet, bei denen die Anzahl an Schritten a priori bekannt ist. Die Iterationsschritte nutzen Routinen, für die kommunikationsvermeidende Implementierungen existieren. Weitere Möglichkeiten zur Parallelisierung sind verfügbar und machen den Algorithmus vielversprechend für den Bereich des Hochleistungsrechnens. Verschiedene Heuristiken werden vorgestellt, um die Genauigkeit der durchgeführten Berechnungen zu verbessern. Die motivierenden Eigenwertprobleme aus der elektronischen Strukturtheorie fallen in die Kategorie der schiefsymmetrischen Eigenwertprobleme. Wir entwickeln einen neuen Algorithmus für diese Problemklasse, indem wir Ideen der spektralen Teile-und- Herrsche Methode für symmetrische Matrizen verallgemeinern. Sie werden angewandt in einem Umfeld, welches durch indefinite Skalarprodukte charakterisiert wird. Die Pseudosymmetrie bleibt während der Rechnungen erhalten. Verallgemeinerte Polarzerlegungen und verallgemeinerte QR Zerlegungen werden als Werkzeuge im präsentierten Algorithmus benötigt.