Justification of the nonlinear Schrödinger equation for interface wave packets in Maxwell's equations with 2D localization

Abstract

Wir untersuchen die Maxwell Gleichungen in zwei Dimensionen am Interface zweier inhomogener Medien mit Kerr-Nichtlinearität und sofortiger Materialantwort. Das zugehörige lineare Problem wird mithilfe der exponentiellen Dichotomie eingehend untersucht. Für das nichtlineare Problem wird die nichtlineare Schrödinger Gleichung als passende Amplitudengleichung für eine approximative Wellenpaketlösung formal hergeleitet. Die Approximationseigenschaften der formalen Approximation werden anschließend auf dem zugehörigen langen Zeitintervall mittels eines Bootstrapping Arguments rigoros bewiesen. Die analytischen Ergebnisse der Arbeit werden durch numerische Verfahren und Beispiele ergänzt.

We study the Maxwell equations in two dimensions at the interface of two inhomogeneous media with Kerr nonlinearity and instantaneous material response. The corresponding linear problem is extensively studied with the method of exponential Dichotomy. For the nonlinear problem, we formally derive the nonlinear Schrödinger equation as the amplitude equation for an approximative wave packet solution. Subsequently, the properties of the approximation are proven rigorously on the corresponding long time interval via a bootstrapping argument. The analytical results of this thesis are supplemented by numerical methods and examples.