Generalised modelling of droplet collisions in the frame of Euler/Lagrange calculations

Abstract

Spray systems play a crucial role in various technical, industrial, and daily-life processes. Atomisation, achieved through specialised nozzles, is a key step in these systems, as it determines the droplet size distribution. Droplet size distribution is influenced by fundamental processes such as liquid and droplet break-up, as well as droplet collision. Over the past few decades, Computational Fluid Dynamics (CFD) simulations have been widely employed to design and optimise complex two-phase flows in spray systems. In particular, the Euler/Lagrange method has proven effective in numerically simulating spray systems. The objective of this work is essentially to extend droplet collision models, for which both experimental and numerical calculations have been performed. In order to introduce droplet collisions into Euler/Lagrangian spray simulations, the utilization of collision maps is required. The outcome of binary droplet collisions (bouncing, coalescence, reflexive and stretching separation) depends on many parameters, such as the kinetic and physical properties of the gas and droplets. With the help of the obtained dimensionless numbers, the outcomes of the collision are summarized as a collision map and distinguished by the corresponding boundary lines. The reliability of the boundary lines used to distinguish different collision outcomes is very important. The most widely used bouncing boundary lines are derived from theoretical derivations based on energy balance but neglecting viscous dissipation effects. This paper presents a data-driven model using new assumptions and definitions that take into account the dissipated energy during the collision and the changing shape of the collision complex. Two new parameters are introduced into the model, namely the shape factor and the energy conversion rate, both depending on the impact parameter B. The new bouncing model is thus related to the degree of deformation of the droplet. The dependence on B can be described by a linear correlation between two parameters, namely the slope and the intercept. These parameters are related to the Ohnesorge number (Oh), whose model is Oh < 0.35, and they are derived as polynomial fit functions using a large number of existing experiments with different liquids. In the droplet collision experiments, two droplet chain generators create droplet collisions that are recorded by two synchronised high-speed cameras. Afterwards, an internal image processing script analyses the time-resolved images of the collision sequences. Extensive experimental studies were carried out for water and a maltodextrin solution with different solid concentrations. The focus was on a thorough variation of the droplet size ratio. The effects of size ratio and water quality are studied for water. It is found that water quality does not seem to have a significant effect on collision regimes. As the size ratio decreases, the area of coalescence in the collision map is shown to widen and the area of bouncing is shown to narrow. This also leads to an upward shift of the boundary line between coalescence and stretching separation. For maltodextrin solutions, the effects of size ratio and viscosity were investigated. The critical bouncing point WeB−C is affected not only by the properties of the liquid but also by the size ratio. For the same size ratio, WeB−C is approximately the same for different mass concentrations. When the size ratio decreases, WeB−C becomes smaller. The critical point (WeC) exists only for solutions with low viscosity and is more sensitive (more coalescence occurs) to smaller droplet diameters than to the size ratio. The collision regimes of maltodextrin solutions show that the triple point (WeT ) is not affected by the drop size/size ratio but is sensitive to viscosity. Furthermore, the experimental results are compared with different models from the literature. The model of Sommerfeld and Pasternak (2019) with pure fluid correlation is excellent for predicting collision results with size ratios up to Δ = 0.5. However, the Sui et al. (2023) model gives good results for size ratios of Δ = 0.8 and Δ = 1.0, but fails at Δ = 0.5. Based on the developed boundary lines from theoretical considerations and experiments, numerical spray calculations are carried out using the Euler/Lagrange method. In particular, the sensitivity of the spray calculations (of the obtained size distribution) to the selected boundary lines will be analysed. In the Euler/Lagrange method, the flow field is calculated by solving the conservation equations for a continuous phase on a given Eulerian grid, taking into account momentum transfer between phases. Modelling dispersed phases requires tracking a large number of droplets through the flow field solving the equations of motion and considering all relevant forces acting on the particles. In this work, the spray is simulated using the Euler/Lagrange approach together with the k − ε turbulence model which is implemented in the open-source program OpenFOAM®8. In the simulations, the droplets are treated as parcels containing a certain number of real droplets with the same properties. The parcels are tracked taking into account all relevant forces, such as drag and gravity. The stochastic dispersion of particles caused by the turbulence is predicted using the Langevin equation. A stochastic collision model is used to calculate the droplet-droplet interactions, which means the simulations are carried out with four-way coupling. In addition, this model takes into account the impact efficiency for smaller droplets. A key element of the fully stochastic droplet collision model is an accurate description of the collision outcomes using the so-called collision maps. The first spray simulations are performed as a verification case for the fully stochastic collision model. First, different methods for generating fictitious parcels as collision partners are compared. It is shown that the different methods have no significant influence on the profiles of the axial and radial mean droplet velocities, their fluctuation values and the droplet diameters within different measurement ranges. However, the details of the collision model, such as the size distribution of the real and the fictitious particles and the location of the collision event, are affected. Secondly, the simulation results show that most collisions in the spray occur between two droplets of unequal size when the composite model (three boundary lines) of collision regimes is used. The second spray in the simulation is designed for coating tablets with high velocities and turbulence in the pharmaceutical industry. The simulation approaches are the same as for the first spray simulation, which is four-way coupling. It has been shown that particle turbulence dispersion is very important in such high turbulent sprays. It has a direct influence on the simulation results. However, due to the high air velocity of this spray, in such sprays, the results for either the one-way or two-way coupling method are similar.

Sprühsysteme spielen in zahlreichen technischen und industriellen Prozessen sowie im täglichen Leben eine wichtige Rolle. Bei all diesen Techniken ist ein wichtiger Schritt die Zerstäubung der Flüssigkeit unter Verwendung eines bestimmten Düsentyps, um eine bestimmte Sprühnebelform und eine geeignete Tropfengrößenverteilung zu erreichen, Diese wird von grundlegenden Prozessen wie dem Flüssigkeitsaufbruch, dem Tropfenaufbruch und der Tropfenkollision beeinflusst wird. In den letzten Jahrzehnten wurde die numerische Simulation von Sprühsystemen (CFD: Computational Fluid Dynamics) zunehmend für die Auslegung und Optimierung dieser sehr komplexen Zweiphasenströmungen eingesetzt. Insbesondere hat die Anwendung der Euler/Lagrange Methode auf numerische Berechnungen von Sprühsystemen zu fruchtbaren Ergebnissen geführt. Das Ziel dieser Arbeit ist imWesentlichen die Erweiterung von Tropfenkollisionsmodellen, für die sowohl experimentelle als auch numerische Berechnungen durchgeführt wurden. Um Tropfenkollisionen in die Euler/Lagrange Simulation von Sprays einzubringen, sind zuverlässige Grenzlinien erforderlich, um zwischen den verschiedenen Ergebnissen von Tropfenkollisionen zu unterscheiden, wie Abprall, Koaleszenz, reflexive und dehnende Separation. Das Ergebnis einer binären Tropfenkollision hängt von vielen Parametern ab, wie den kinetischen und physikalischen Eigenschaften von Gas und Tropfen. Mithilfe von daraus resultierende dimensionslosen Kennzahlen werden die Kollisionsergebnisse durch entsprechende Grenzlinien unterschieden. Die am weitesten verbreitete Grenzlinie für den Abprall wird derzeit aus theoretischen Ableitungen abgeleitet, die auf einer Energiebilanz basieren, aber viskose Dissipationseffekte außer Acht lassen. In diesem Beitrag wird ein datengestütztes Modell vorgestellt, das neue Annahmen und Definitionen verwendet, die die dissipierte Energie während des Abpralls und die sich ändernde Form des Abprallkomplexes berücksichtigen. Es werden zwei neue Parameter in das Modell eingeführt, nämlich der Formfaktor und die Energieumwandlungsrate, die beide vom B abhängen. Das neue Abprallmodell hängt also mit dem Grad der Verformung des Tropfens zusammen. Die Abhängigkeit von B kann durch eine lineare Korrelation zwischen zwei Parametern beschrieben werden, nämlich der Steigung und dem Achsenabschnitt. Diese Parameter hängen mit der Ohnesorge-Zahl zusammen, deren Grenzwert Oh < 0, 35 beträgt, und sie werden als Polynom-Fit-Funktionen mit Hilfe einer großen Anzahl von bestehenden Experimenten mit verschiedenen Flüssigkeiten abgeleitet. Das Modell wird durch den Vergleich mit vielen vorhandenen experimentellen Ergebnissen validiert. Zwei Tropfenkettengeneratoren erzeugen Tropfenkollisionen, die von zwei synchronisierten Hochgeschwindigkeitskameras aufgezeichnet werden. Ein internes Bildverarbeitungsskript analysiert die zeitaufgelösten Bilder der Kollisionssequenzen. Zur Ergänzung früherer Arbeiten wurden weitere umfangreiche experimentelle Studie für Wasser und eine Maltodextrinlösung mit unterschiedlichen Feststoffkonzentrationen durchgeführt. Dabei lag der Schwerpunkt auf einer gründlichen Variation des Tropfengrößenverhältnisses. Die Auswirkungen des Größenverhältnisses und der Wasserqualität werden für Wasser untersucht. Es zeigt sich, dass die Wasserqualität keinen signifikanten Einfluss auf die Kollisionsregimen zu haben scheint. Mit abnehmendem Größenverhältnis, zeigte sich eine Erweiterung des Bereichs der Koaleszenz und seine Vertleinerung des Bereichas Abprall. Dies führt auch dazu, dass sich die Grenzlinie zwischen Koaleszenz und dehnende Separation nach oben verschiebt. Bei Maltodextrinlösungen wurden die Auswirkungen des Größenverhältnisses und der Viskosität untersucht. Der kritische Abprallpunkt WeB−C wird nicht nur durch die Eigenschaften der Flüssigkeit, sondern auch durch das Größenverhältnis beeinflusst. Bei gleichem Größenverhältnis ist WeB−C bei unterschiedlichen Massenkonzentrationen ungefähr gleich. Wenn das Größenverhältnis abnimmt, wird WeB−C kleiner. Der kritische Punkt (WeC) existiert nur für Lösungen mit geringer Viskosität und ist empfindlicher (mehr Koaleszenz tritt auf) für kleinere Tropfendurchmesser als für das Größenverhältnis. Die Kollisionsregimen von Maltodextrinlösungen zeigen, dass der Tripelpunkt (WeT ) nicht von der Tropfengröße/dem Größenverhältnis beeinflusst wird, aber empfindlich auf die Viskosität reagiert. Darüber hinaus werden die experimentellen Ergebnisse mit verschiedenen Modellen aus der Literatur verglichen. Das Modell von Sommerfeld and Pasternak (2019) mit reiner Flüssigkeitskorrelation eignet sich hervorragend zur Vorhersage von Kollisionsergebnissen mit Größenverhältnissen bis zu Δ = 0, 5. Das Modell von Sui et al. (2023) liefert jedoch gute Ergebnisse für Größenverhältnisse von Δ = 0, 8 und Δ = 1, 0, versagt jedoch bei Δ = 0, 5. Basierend auf den entwickelten Grenzlinien aus theoretischen Betrachtungen und Experimenten werden numerische Sprühnebelberechnungen mithilfe des Euler/Lagrange-Verfahrens durchgeführt. Insbesondere soll die Sensitivität der Sprühnebelberechnungen (der erhaltenen Größenverteilung) auf die gewählten Grenzlinien analysiert werden. Bei der Euler/Lagrange-Methode wird das Strömungsfeld durch das Lösen der Erhaltungsgleichungen für eine kontinuierliche Phase auf einem gegebenen Eulerschen Gitter berechnet, wobei Impuls-, Wärme- und Massenübertragung zwischen den Phasen berücksichtigt werden. Die Modellierung dispergierter Phasen erfordert die Verfolgung einer großen Anzahl von Tropfen durch das Strömungsfeld, Lösung der Bewegungsgleichungen und Berücksichtigung aller relevanten Kräfte, die auf die Partikel wirken. Bei diesem Ansatz müssen alle Prozesse auf der Tropfenskala in einem geeigneten Modell berücksichtigt werden, einschließlich der Modelle für Tropfenkollisionen. In dieser Arbeit wird der Euler/Lagrange- Ansatz zusammen mit dem k−ε Turbulenzmodell zur Berechnung von Sprühnebel verwendet. Alle numerischen Simulationen werden mit dem freien Open-Source-Programm OpenFOAM®8 durchgeführt. In den Simulationen werden die Tropfen als Parzellen behandelt, die eine bestimmte Anzahl von realen Tropfen mit gleichen Eigenschaften enthalten. Die Parzellen werden unter Berücksichtigung aller relevanten Kräfte, wie Widerstand und Schwerkraft, verfolgt. Die stochastische Dispersion von Partikeln, die durch Turbulenzen verursacht wird, wird mithilfe der Langevin-Gleichung vorhergesagt. Zur Berechnung der Tropfen-Tropfen- Wechselwirkungen wird ein stochastisches Kollisionsmodell verwendet, d.h. die Simulationen werden mit Vier-Wege-Kopplung durchgeführt. Darüber hinaus wird bei diesem Modell die Auftreffeffizientz für kleinere Tropfen berücksichtigt. Ein Schlüsselelement des vollständig stochastischen Tropfenkollisionsmodells ist eine genaue Beschreibung der Kollisionsergebnisse mithilfe der entwickelten Kollisionsregime. Schlechte Schätzungen dieser Kollisionsregimen können zu einer fehlerhaften Berechnung des endgültigen Tropfengrößenspektrums führen. Daher werden erste Sprühnebelsimulationen als Verifizierungsfall für das vollständig stochastische Kollisionsmodell durchgeführt. Zunächst werden verschiedene Methoden zur Erzeugung fiktiver Parzellen als Kollisionspartner vergliche. Es zeigt sich, dass die verschiedenen Methoden keinen erheblichen Einfluss auf die Profile der axialen und radialen mittleren Tropfengeschwindigkeiten, deren Schwankungswerte und der Tropfendurchmesser innerhalb verschiedener Messbereiche haben. Allerdings werden die Details des Kollisionsmodells, wie die Größenverteilung der realen und der fiktiven Partikel und der Ort des Kollisionsgeschehens, beeinflusst. Zweitens zeigen die Simulationsergebnisse, dass die meisten Kollisionen im Spray zwischen zwei Tropfen ungleicher Größe stattfinden, wenn das vollständige Modell (drei Grenzlinien) der Kollisionsregime verwendet wird. Der zweite Sprühnebel, der numerisch berechnet wurde, ist für die Beschichtung von Tabletten mit hohen Geschwindigkeiten und Turbulenzen in der Pharmaindustrie konzipiert. Die Simulationsansätze sind die gleichen wie bei der ersten Sprühsimulation. Es hat sich gezeigt, dass die Partikelturbulenzdispersion in solchen hochturbulenten Strahlen sehr wichtig ist. Die Partikelturbulenzdispersion hat einen direkten Einfluss auf die Simulationsergebnisse. Aufgrund der hohen Luftgeschwindigkeit dieses Sprays hat sie jedoch kaum Auswirkungen auf die Berechnungsergebnisse der unidirektionalen und bidirektionalen Kopplungsmethoden.