Fast methods for mixed-integer PDE-constrained optimization

Abstract

We develop a theoretical framework for geodesics in metric spaces of measurable sets. This framework enables us to extend a subset of nonlinear optimization theory from vector spaces to measure spaces. Specifically, we adapt two iterative optimization methods, the steepest descent method and a simple quadratic penalty method, to this setting, allowing their application to problems involving spatially and temporally distributed binary variables. We demonstrate the practical applicability of these methods through two test problems.

Wir entwickeln einen theoretischen Rahmen für den Umgang mit Geodäten in metrischen Räumen messbarer Mengen. Dieser Rahmen ermöglicht es uns, einen Teil der nichtlinearen Optimierungstheorie von Vektorräumen auf Maßräume zu übertragen. Konkret passen wir zwei iterative Optimierungsverfahren, das Gradientenabstiegsverfahren und ein einfaches quadratisches Penalty-Verfahren, an dieses Setting an, wodurch ihre Anwendung auf Probleme mit räumlich und zeitlich verteilten binären Variablen möglich wird. Die praktische Anwendbarkeit dieser Verfahren demonstrieren wir anhand von zwei Testproblemen.