Combinatorial aspects of coxeter groups

Abstract

This thesis investigates aspects of Coxeter groups along two main lines of research, both using similar combinatorial methods. After presenting the basic notions of graph theory together with the geometric and combinatorial foundations of Coxeter groups in Part I (Chapter 2), Part II is devoted to the study of folded galleries and Coxeter shadows. While folded galleries have numerous applications across mathematics, their rich intrinsic combinatorial structure remains only partially understood. This work aims to develop methods for describing folded galleries and shadows in affine Coxeter complexes with Weyl chamber orientations, establishing the foundation for extending these ideas to more general orientations. Central to this study is the introduction of folding patterns in Chapter 3, which encode the combinatorial possibilities of folding minimal galleries. The main result of this chapter is that we characterize all applicable folding patterns of a given minimal gallery by establishing a bijection between folding patterns and directed paths in Bruhat moment graphs in Theorem 3.3.9, reducing the complexity of the problem to the study of finite graphs. Furthermore, we also prove how to determine the spherical direction of the end alcove of a positively folded gallery with respect to Weyl chamber orientations by drawing another link to Bruhat moment graphs in Theorem 3.3.18. Building on these connections, we introduce folding pattern polytopes in Chapter 4, which describe the sets of end vertices of folded galleries with a given folding pattern. For a special subset of group elements, these tools allow us to provide a combinatorial framework for computing the complete Coxeter shadow in Theorem 4.3.12, while for arbitrary group elements, we propose the notion of the Coxeter umbra for the subset of the shadow constructed this way (cf. Theorem 4.4.4). Part III addresses involutions in Coxeter groups, i.e., elements of order two. We study the number cc₂ of conjugacy classes of involutions, a group-theoretic invariant previously determined by Deodhar and Richardson [Deo82; Ric82], in Chapter 5. Our combinatorial approach (cf. Theorem 5.3.7) is based on the introduction of higher-rank odd graphs, a natural generalization of the odd graphs that have been used in the study of conjugacy classes of reflections (see [Bra+02]). This framework allows us to provide closed formulae for cc₂ in all irreducible finite and affine Coxeter groups in Theorems 5.4.3 and 5.4.4. Moreover, we apply our method to compute the number of conjugacy classes of involutions for triangle groups and right-angled Coxeter groups. Uniting both directions of research is the pervasive use of graphs as our combinatorial tool of choice, which provides a common language for the objects under consideration.

Diese Dissertation untersucht Aspekte von Coxeter-Gruppen entlang von zwei Hauptforschungsrichtungen, die auf ähnlichen kombinatorischen Methoden beruhen. Nachdem in Part I (Chapter 2) grundlegende Begriffe der Graphentheorie sowie die geometrischen und kombinatorischen Grundlagen von Coxeter-Gruppen dargestellt werden, widmet sich Part II der Untersuchung gefalteter Galerien und Coxeter-Schatten. Obwohl gefaltete Galerien zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Teildisziplinen der Mathematik haben, ist ihre innere kombinatorische Struktur bislang nur teilweise verstanden. Ziel dieser Arbeit ist es, Methoden zur Beschreibung gefalteter Galerien und Schatten in affinen Coxeter-Komplexen mit Weyl-Kammer-Orientierungen zu entwickeln und damit die Grundlage für eine Erweiterung dieser Ideen auch auf andere Orientierungen zu schaffen. Zentral für unsere Untersuchungen ist die Einführung von folding patterns (dt. Faltungsmuster) in Chapter 3, die die kombinatorischen Möglichkeiten des Faltens minimaler Galerien kodieren. Das Hauptresultat dieses Kapitels besteht darin, dass wir alle anwendbaren Faltungsmuster für eine gegebene minimale Galerie charakterisieren, indem wir in Theorem 3.3.9 eine Bijektion zwischen Faltungsmustern und gerichteten Pfaden in Bruhat-Moment-Graphen herstellen und so die Komplexität des Problems auf die Untersuchung endlicher Graphen reduzieren. Darüber hinaus beweisen wir in Theorem 3.3.18, wie man die sphärische Richtung der End-Alkoven einer positiv gefalteten Galerie in Bezug auf Weyl-Kammer-Orientierungen bestimmt, indem wir eine weitere Verbindung zu Bruhat-Moment-Graphen herstellen. Aufbauend auf diesen Ergebnissen führen wir in Chapter 4 folding pattern polytopes (dt. Faltungsmuster-Polytope) ein, die die Menge der End-Ecken gefalteter Galerien zu einem gegebenen Faltungsmuster beschreiben. Für eine spezielle Teilmenge von Gruppenelementen ermöglichen uns diese Werkzeuge den Entwurf einer kombinatorischen Vorgehensweise zur Bestimmung des vollständigen Coxeter-Schattens in Theorem 4.3.12, während wir für beliebige Gruppenelemente den Begriff der Coxeter-Umbra für die auf diese Weise konstruierte Schattenteilmenge vorschlagen (vgl. Theorem 4.4.4). Part III behandelt Involutionen in Coxeter-Gruppen, d.h. Elemente der Ordnung zwei. In Chapter 5 untersuchen wir die Anzahl cc₂ der Konjugationsklassen von Involutionen, ein gruppentheoretisches Invariant, das zuvor von Deodhar und Richardson [Deo82; Ric82] bestimmt wurde. Unser kombinatorischer Ansatz (vgl. Theorem 5.3.7) basiert auf der Einführung von higher-rank odd graphs (dt. ungeraden Graphen von höherem Rang), einer natürlichen Verallgemeinerung der Odd-Graphen, die in der Untersuchung von Konjugationsklassen von Spiegelungen verwendet werden (vgl. [Bra+02]). Dies erlaubt es uns, geschlossene Formeln für cc₂ in allen irreduziblen endlichen (Theorem 5.4.3) und affinen (Theorem 5.4.4) Coxeter-Gruppen anzugeben. Darüber hinaus wenden wir unsere Methode an, um die Anzahl der Konjugationsklassen von Involutionen für Dreiecksgruppen und rechtwinklige Coxeter-Gruppen zu berechnen. Beide Teile der Dissertation verbindet der Einsatz von Graphen als bevorzugtes kombinatorisches Werkzeug, welches eine gemeinsame Sprache für die betrachteten Objekte bereitstellt.