Lokal D-optimale Designs für nichtlineare Modelle auf der k-dimensionalen Kugel

Abstract

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der optimalen Versuchsplanung für unterschiedliche nichtlineare Modelle der multiplen Regression. Dabei werden unter anderem die Poisson- und die Negativ-Binomial-Regression sowie die logistische Regression und das Probit-Modell ausgiebig untersucht. Bei diesen Beispielen handelt es sich um verallgemeinerte lineare Modelle, welche in der statistischen Datenanalyse weit verbreitet sind. Außerdem gehören sie zwei Klassen von Modellen an, welche neben weiteren zu besprechenden Eigenschaften entweder eine monotone oder eine unimodale Intensitätsfunktion besitzen. Die gewöhnliche lineare multiple Regression wird dabei als Sonder- beziehungsweise Grenzfall mit betrachtet. Als Versuchsbereich dieser Modelle wird die k-dimensionale Einheitskugel angenommen, wobei durch Äquivarianzbetrachtungen beliebig große Kugeln und Ellipsoide eingebettet im k-dimensionalen euklidischen Raum dienen können. Solche Versuchsbereiche treten beispielsweise im Zusammenhang mit Response-Surface-Methoden auf. Für diese Modelle werden lokal D-optimale Designs ermittelt, welche bis auf Sonderfälle, wie das lineare Modell oder k = 1, bisher unbekannt waren. Dabei werden wiederum intensiv Invarianz- und Äquivarianzeigenschaften des Modells, des Versuchsbereiches und des Optimalitätskriteriums ausgenutzt. Es stellt sich heraus, dass ein möglicher verallgemeinerter lokal D-optimaler Versuchsplan nur Masse auf zwei Orbits besitzt, welche sich im Schnitt von Kugeloberfläche und jeweils einer Hyperebene orthogonal zur Richtung der höchsten Intensität befinden. Einer dieser beiden Orbits kann zu einem einzelnen Punkt, einem Pol, degeneriert sein. Im Falle der Klasse mit monotoner Intensitätsfunktion gibt es immer einen echten Orbit und einen zu einem Pol degenerierten Orbit. Aufgrund der sich ergebenden Designgewichte lässt sich der echte Orbit durch k Designpunkte, welche die Eckpunkte eines darin maximal aufgespannten regulären Simplex sind, diskretisieren, sodass ein exakter Versuchsplan mit k +1 gleichgewichteten Designpunkten entsteht. Dies ist die minimale Anzahl von Designpunkten zum Schätzen des Parametervektors der multiplen Regression. Gleiches gilt zum Teil für die Klasse mit unimodaler Intensitätsfunktion. Hier können aber auch lokal D-optimale Designs mit zwei echten Orbits auftreten, die nur bedingt zu einem Design mit minimaler Anzahl von Punkten diskretisiert werden können. Unbeschadet dessen lassen sich effiziente Versuchspläne mit minimaler Anzahl von Punkten angeben. Als weiteres Resultat führt eine zusätzliche Symmetrieeigenschaft in der Klasse der Modelle mit unimodaler Intensitätsfunktion zu einer Vereinfachung in der Bestimmung der beiden Orbitpositionen.

This thesis deals with the optimal experimental design for various nonlinear multiple regression models. Among others, the Poisson and negative binomial regression as well as logistic regression and the probit model are examined extensively. These examples are generalized linear models, which are widely used in statistical data analysis. They also belong to two classes of models which, among other properties being discussed, have either a monotonic or a unimodal intensity function. The standard linear multiple regression is treated as a special or boundary case. The k-dimensional unit sphere is assumed to be the design region for these models, whereby equivariance considerations allow arbitrarily large spheres and ellipsoids embedded in the k-dimensional Euclidean space. Such design regions arise, for example, in the context of response surface methods. For these models, locally D-optimal designs are determined, which were previously unknown except for special cases such as the linear model or k = 1. Again, invariance and equivariance properties of the model, the design region and the optimality criterion are used intensively. It results that a feasible generalized locally D-optimal experimental design only has mass on two orbits, which are located in the intersection of the surface of the ball and a hyperplane orthogonal to the direction of highest intensity. One of these two orbits can be degenerated into a single point, a pole. In the case of the class with a monotonic intensity function, there is always a proper orbit and an orbit degenerated to a pole. Due to the resulting design weights, the proper orbit can be discretized by k design points, which are the vertices of a regular simplex spanned to the maximum within the orbit, so that an exact experimental design with k+1 equally weighted design points evolves. This is the minimal number of design points for estimating the multiple regression parameter vector. The same is partially true for the class with a unimodal intensity function. However, here locally D-optimal designs with two proper orbits can also occur, which can only be discretized into a design with the minimal number of points to a limited extent. Regardless of this, efficient experimental designs with the minimal number of points can be determined. As a further result, an additional symmetry property in the class of models with unimodal intensity functions leads to simplification of determining the two orbit positions.