Estimating multiple structural breaks in time series - a generalized MOSUM approach based on estimating functions

Abstract

Multiple change point detection is a special area of change point analysis where we are mainly interested in localizing changes in the underlying model of an observed time series. The MOSUM (moving sum) procedure investigated by Eichinger & Kirch (2018) is one of the basic approaches to detect and estimate multiple changes in the classical mean change model. The statistic is constructed by comparing the arithmetic means of subsamples of size G around each time point where G denotes the bandwidth. Hence, a quite natural generalization of this procedure to several parameter change problems would be to use MOSUM Wald-type statistics based on differences of local estimators. However, especially in non-linear models, applying these statistics can lead to high computational effort and large numerical errors. To reduce the complexity in computation we consider MOSUM statistics based on estimating functions (scoretype statistics) where only one global estimator of the parameter has to be computed. However, this comes at the cost that a single global estimator may not be able to detect all possible changes. Therefore, we need to repeat the procedure with several estimators and combine the information from all of them. After an introduction in the first chapter, the second chapter of the thesis focuses on MOSUM score-type statistics. We construct a corresponding test statistic and investigate its asymptotic behavior under the null hypothesis and the alternative. Further, we consider estimators for the number and the locations of the changes and examine their statistical properties. The theoretical results derived in this part enable us to develop a theory for MOSUM Wald-type statistics. In Chapter 3 we investigate the asymptotic properties of a change point test and estimators based on Wald-type statistics. This is followed by some simulation studies for a linear regression model and a Poisson autoregressive model where we compare the performance of the two MOSUM procedures. The simulation results illustrate that the MOSUM Wald-type procedure usually performs better than its score-type counterpart. Further, we observe that, in particular, the score-type procedure strongly depends on the selection of the bandwidth. This bandwidth problem and the problem in detectability can be solved by applying a multiscale method which merges the results obtained from different bandwidths and global estimators in an appropriate way as discussed in Chapter 5. After describing the multiscale procedure for the classical mean change model introduced by Cho & Kirch (2018), we adapt their method to a general setting and the linear regression model and we derive first theoretical results constituting the basis for future work.

Die Detektion multipler Strukturbrüche ist ein spezielles Gebiet der Changepoint Analyse, in dem man hauptsächlich daran interessiert ist, Änderungen in einem einer beobachteten Zeitreihe zugrunde liegendem Modell zu lokalisieren. Das MOSUMVerfahren (moving sum), welches von Eichinger & Kirch (2018) näher untersucht wurde, repräsentiert eines der grundlegenden Verfahren zur Erkennung und Schätzung multipler Änderungen im klassischen Erwartungswertmodell. Die dazugehörige Statistik ergibt sich aus dem Vergleich der Stichprobenmittelwerte, die auf Teilstichproben der Gröÿe G, auch Bandbreite genannt, vor und nach jedem Zeitpunkt berechnet werden. Ein sehr intuitiver Ansatz zur Verallgemeinerung dieses Verfahrens auf Modelle verschiedener Parameteränderungen wäre daher die Verwendung von Wald-Statistiken, die auf den Differenzen lokaler Parameterschätzer basieren. Ein Nachteil dieser Statistiken ist jedoch, dass sie insbesondere in nicht-linearen Modellen nur mit hohem Rechenaufwand und groÿem numerischen Fehler bestimmt werden können. Die rechnerische Komplexität kann durch Anwendung von MOSUM-Statistiken basierend auf Schätzfunktionen (Score-Statistiken) deutlich reduziert werden, da zur Berechnung dieser Statistiken lediglich ein globaler Schätzer bestimmt werden muss. Dieses Verfahren hat dennoch den Nachteil, dass ein globaler Schätzer allein nicht zwingend dazu in der Lage ist alle Strukturbrüche zu erkennen, was eine Wiederholung des Verfahrens mit verschiedenen globalen Schätzern mit anschlieÿender Zusammenführung der Ergebnisse erforderlich macht. Nach einer Einleitung im ersten Kapitel wenden wir uns im zweiten Kapitel dieser Arbeit den MOSUM Score-Statistiken zu. Wir konstruieren eine entsprechende Teststatistik und untersuchen deren asymptotisches Verhalten unter der Nullhypothese und der Alternative. Außerdem werden Schätzer für die Anzahl und die Positionen der Strukturbrüche betrachtet und im Hinblick auf ihre statistischen Eigenschaften analysiert. Die theoretischen Resultate dieses Kapitels ermöglichen es uns, eine Theorie für die Wald-Statistiken zu entwickeln. Im dritten Kapitel werden die asymptotischen Eigenschaften eines Changepoint Tests und von Changepoint Schätzern basierend auf Wald- Statistiken genauer untersucht. Im folgenden Kapitel werden die Simulationsstudien für ein lineares Regressionsmodell und ein Poisson autoregressives Modell beschrieben und die beiden MOSUM-Verfahren werden miteinander verglichen. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass das Wald-Verfahren in den meisten Fällen besser abschneidet. Es ist zudem ersichtlich, dass insbesondere die Leistungsfähigkeit des Score-Verfahrens von der Wahl der Bandbreite abhängt. Das Bandbreitenproblem und das Problem in der Detektierbarkeit können beide durch Anwendung eines Multiskalen-Verfahrens, das die Ergebnisse unter Verwendung verschiedener Bandbreiten und globaler Schätzer in geeigneter Weise zusammenführt, gelöst werden. In Kapitel 5 wird zuerst das von Cho & Kirch (2018) für das Erwartungswertmodell eingeführte Multiskalen-Verfahren beschrieben, bevor wir es auf ein allgemeines Modell bzw. ein lineares Regressionsmodell anpassen und erste theoretische Resultate herleiten, die die Grundlage für weiterführende Untersuchungen bilden.