Topics in statistical minimax hypothesis testing

Abstract

In dieser Dissertation präsentieren wir neue theoretische Ergebnisse im Gebiet derstatistischen minimax Hypothesentests in sehr unterschiedlichen Situationen. Spe-ziell leiten wirnicht-asymptotische minimax “separation rates”(Abstandsraten) fürTestprobleme her, bei denen beideHypothesenzusammengesetzt sind.Im einführenden Kapitel beschreiben wir die allgemeine Situation und Idee fürminimax Tests und besprechen relevante Literatur. Zudem werden für das Thematypische Ideen und Phänomene anhand eines speziellen“signal-detection”-Problemsillustriert.Danach gehen wir auf drei verschiedene Szenarien mit zusammengesetzten Hypothe-sen ein:Zunächst wird das Testproblem untersucht, ob der Erwartungsvektor einesd-dimen-sionalen Gauss’schen Vektors in einer konvexen Menge C ⊆Rd liegt. Dieses Prob-lem im minimax-Sinne mit kleinenTyp-I-undTyp-II-Fehler-Wahrscheinlichkeitenzu lösen, erfordert im Allgemeinen einen positiven Abstand zwischen derNull-undAlternativhypotheseund wir sind am kleinsten Euklidischen Abstand interessiert,sodass ein Test mit der gewünschten Leistung existiert. Im Laufe des Kapitels en-twickeln wir einen Einblick darüber, inwiefern der minimax-optimale Abstand vonder Form vonCabhängt.Danach beschäftigen wir uns mit dem Testproblem, ob zwei zufällige Graphen auf dergleichen Verteilung beruhen. Speziell beobachten wir uiv Realisierungen zweier (un-terschiedlicher)inhomogener Erdős-Renyi-Graphen mit ParametermatrizenPundQauf einer gemeinsamen Knotenmenge und sind am kleinsten Abstand zwischen P und Q interessiert, sodass ein Test die Verteilungen mit kleinen Fehlerwahrscheinlichkeiten unterscheiden kann. Wir zeigen, dass die minimax-optimale Abstandsrate– und sogar die grundsätzliche Lösbarkeit des Problems – stark vom gewählten Ab-standsmaß zwischen P und Q abhängt.Das letzte Kapitel beschäftigt sich damit, den Grad der Regularität (imSobolev-Sinne) einer Funktionfbasierend auf einer verrauschten Beobachtung vonfzutesten. Speziell nehmen wir an, dass f∈Bt(R)(ein Sobolev-Ball mit Regularitätt >0und RadiusR >0) gilt und testen, ob sogarf∈Bs(R)für eins > tgilt. Nununtersuchen wir den kleinsten Abstand im L2-Sinne zwischen Bs(R)und f, sodass ein Test diesen mit kleinen Fehlerwahrscheinlichkeiten erkennen kann. Überraschenderweise hängt die minimax-optimale Abstandsrate nicht von s ab.