Locally optimal designs for generalized linear models with applications to gamma models

Abstract

Locally optimal designs for generalized linear models are derived at certain values of the regression parameters. In the present thesis analytic solutions for optimal designs are mostly developed. In particular situations numerical methods are employed. We restrict to D-, A- and Kiefer Phi kappa-optimality criteria. For general setup of the generalized linear model, by means of The General Equivalence Theorem, necessary and sufficient conditions in term of intensity values are obtained to characterize locally optimal designs. In this context, linear predictors with binary factors are assumed constituting first order models, models with interactions and models without intercept. Additionally, a particular approach is developed to identify locally D- or A-optimal design for the model with intercept from that for the model without intercept and vice versa. Gamma models with a power link function are considered constituting a particular class of generalized linear models. Relevant structures for the linear predictor are employed based on quantitative factors. The notions of locally essentially complete classes and locally complete classes of designs are introduced and such classes are established. On that basis locally D- and A-optimal designs are derived. In certain cases, the obtained results under generalized linear models with binary factors can be transferred to gamma models with quantitative factors. The explicit impact of the model parameters on the optimality of the designs is investigated. Furthermore, product type designs are derived for gamma models with product-type interactions. Moreover, gamma models having a linear predictor without intercept are considered. For a specific scenario sets of locally Phi kappa-optimal designs are developed. Further, by a suitable transformation between gamma models with and without intercept optimality results are transferred from one model to the other. Additionally with the aid of The General Equivalence Theorem optimality are characterized for multiple regression by a system of polynomial inequalities which can be solved analytically or by computer algebra. The robustness of the derived designs for gamma models with respect to misspecifications of the initial parameter values is examined by means of their local efficiencies. Optimal designs for multivariate generalized linear models are investigated. The components of the multivariate response might be combined with linear predictors via distinct link functions. We found that the locally optimal design for the univariate generalized linear models remains the same in the multivariate structure. In particular, product type designs are developed for the multivariate gamma model.

Lokal optimale Versuchspläne für verallgemeinerte lineare Modelle werden für vorgegebene Werte der Regressionsparameter hergeleitet. In der vorliegenden Arbeit werden zumeist analytische Lösungen für optimale Versuchpläne entwickelt. In speziellen Situationen werden auch numerische Methoden verwendet. Wir beschränken unsere Untersuchungen auf das D- und A-Kriterium sowie Kiefers Phi kappa-Optimalitätskriterien. Im allgemeinen Rahmen der verallgemeinerten linearen Modelle werden mittels des allgemeinen Äquivalenzsatzes notwendige und hinreichende Bedingungen erhalten, die Intensitätswerte verwenden und lokal optimale Versuchspläne charakterisieren. In diesem Zusammenhang werden für lineare Prädiktoren mit binären Faktoren Modelle erster Ordnung, Modelle mit Wechselwirkungen und Modelle ohne Interzept (konstanten Term) betrachtet. Darüber hinaus wird eine spezielle Methode entwickelt, um lokal D- oder A-optimale Versuchspläne für ein Modell mit Interzept aus solchen für ein Modell ohne Interzept, und umgekehrt, zu konstruieren. Im Weiteren werden Gamma-Modelle mit einer Potenzfunktion als Link-Funktion (Power Link) betrachtet, die eine spezielle Klasse verallgemeinerter linearer Modelle bilden. Hierzu werden relevante Strukturen für lineare Prädiktoren verwendet, die auf quantitativen Faktoren basieren. Die Begriffe einer lokal wesentlich vollständigen Klasse und einer lokal vollständigen Klasse von Versuchsplänen werden eingeführt, und derartige Klassen werden für verallgemeinerte lineare Modelle mit binären Faktoren erhaltene Resultate. In geeigneten Fällen können die für verallgemeinerte lineare Modelle mit binären Faktoren erhaltene Resultate auf Gamma-Modelle mit quantitativen Faktoren übertragen werden. Zur Messung der Qualität wird der Einfluss der Modellparameter auf die Optimalität der Versuchspläne untersucht. Weiterhin werden Versuchspläne mit Produkt-Struktur als optimal für Gamma-Modelle mit produktartigen Wechselwirkungen identifiziert. Darüber hinaus werden auch Gamma-Modelle mit linearem Prädiktor ohne Interzept betrachtet. Für ein spezielles Szenario werden Mengen lokal Phi kappa-optimaler Versuchspläne gefunden. Durch eine geeignete Transformation werden Optimalitätsresultate für Gamma-Modelle mit Interzept auf Gamma-Modelle ohne Interzept, und umgekehrt, übertragen. Außerdem wird mit Hilfe des allgemeinen Äquivalenzsatzes die Optimalität für multiple Regression charakterisiert durch ein System polynomialer Ungleichungen, die analytisch oder mittels Computer Algebra gelöst werden können. Die Robustheit der hergeleiteten Versuchspläne für Gamma-Modelle bezüglich Fehlspezifikation der Parameter wird mittels ihrer lokalen Effizienzen überprüft. Schließlich werden optimale Versuchspläne für multivariate verallgemeinerte lineare Modelle untersucht. Dabei können die Komponenten der multivariaten Regressionsfunktion mit linearen Prädiktoren über verschiedene Link-Funktionen kombiniert werden. Es kann gezeigt werden dass der lokal optimale Versuchsplan für das univariate verallgemeinerte lineare Modell such für die multivariate Struktur optimal bleibt. Insbesondere werden Versuchspläne mit Produkt-Struktur für multivariate Gamma- Modelle entwickelt.