Structure-preserving model order reduction for network systems

Abstract

This thesis considers structure-preserving system-theoretic model order reduction for certain structured input-output systems, particularly network systems. In the first part, our focus lies on the clustering-based approach to reduce network systems. Therein, we begin by considering clustering-based model order reduction for linear multi-agent systems. This approach finds a reduced model whose dynamics evolve over a smaller network. To measure the reduction error, we use the H2-norm and consider the H2-optimal clustering problem. Since clustering is generally a difficult combinatorial problem, we propose a framework based on relaxing the discrete problem to find an H2-suboptimal clustering. Following on this, we directly extend the framework to a class of nonlinear multi-agent systems. Next, we derive upper bounds for H2 and H1 clustering-based reduction errors for linear multi-agent systems based on almost equitable partitions. These results generalize work for multi-agent systems with single-integrator agents. Using a similar approach for power systems, which are a special class of nonlinear multi-agent systems, we find conditions for exact clustering-based reduction. Additionally, we study subsystem reduction for network systems. We propose a balancing-based approach that guarantees stability preservation under a small-gain condition. Furthermore, we consider the H2-optimal subsystem reduction problem. We derive Gramian-based first-order necessary H2-optimality conditions and use a gradient-based optimization method to fulfill them. Finally, we apply the structure-preserving H2-optimal model reduction approach for network systems to other structured systems. In particular, we consider H2-optimal model order reduction of second-order systems, port-Hamiltonian systems, time-delay systems and H2 L2-optimal model order reduction of parametric systems. Here, we also derive Gramian-based H2-optimality conditions and use an optimization approach to construct a reduced model. For some structured systems, we also derive interpolatory H2-optimality conditions under additional assumptions on the reduced model.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der strukturerhaltenden systemtheoretischen Modellordnungsreduktion für bestimmte strukturierte Input-Output-Systeme, insbesondere Netzwerksysteme. Im ersten Teil liegt unser Fokus auf dem clusterbasierten Ansatz zur Reduktion von Netzwerksystemen. Zunächst betrachten wir dabei die clusterbasierte Modellreduktion für lineare Multiagentensysteme. Dieser Ansatz findet ein reduziertes Modell, dessen Dynamik sich über ein kleineres Netzwerk entwickelt. Zum Messen des Reduktionsfehlers verwenden wir die H2-Norm und betrachten das H2- optimale Clustering-Problem. Da das Clustering im Allgemeinen ein schwieriges kombinatorisches Problem ist, schlagen wir ein Framework vor, welches darauf basiert, das diskrete Problem zu relaxieren, um ein H2-suboptimales Clustering zu finden. Im Anschluss daran erweitern wir das Framework direkt auf eine Klasse nichtlinearer Multiagentensysteme. Als nächstes leiten wir obere Schranken für H2 und H1 clusterbasierte Reduktionsfehler für lineare Multiagentensysteme her, basierend auf nahezu gerechten Partitionierungen. Diese Ergebnisse verallgemeinern die Arbeit für Multiagentensysteme mit Single-Integrator-Agenten. Unter Verwendung eines ähnlichen Ansatzes für Energiesysteme, die eine spezielle Klasse nichtlinearer Multiagentensysteme darstellen, finden wir Bedingungen für eine genaue clusterbasierte Reduktion. Zusätzlich untersuchen wir die Subsystemreduktion für Netzwerksysteme. Wir schlagen einen balancierenden Ansatz vor, der die Erhaltung der Stabilität unter Small-Gain- Bedingungen gewährleistet. Weiterhin betrachten wir das H2-optimale Subsystemreduktionsproblem. Wir leiten gramschenbasierte notwendige H2-Optimalitätsbedingungen erster Ordnung her und verwenden eine gradientenbasierte Optimierungsmethode um diese zu erfüllen. Schließlich wenden wir die strukturerhaltende H2-optimale Modellreduktion für Netzwerksysteme auf andere strukturierte Systeme an. Insbesondere betrachten wir H2- optimale Modellordnungsreduktion von Systemen zweiter Ordnung, Port-Hamiltonscher Systeme, zeitverzögerter Systeme und H2 L2-optimale Modellordnungsreduktion von parametrischen Systemen. Auch hier leiten wir gramschenbasierte H2-Optimalitätsbedingungen her und verwenden einen Optimierungsansatz um ein reduziertes Modell zu konstruieren. Für einige strukturierte Systeme leiten wir auch interpolatorische H2-Optimalitätsbedingungen unter zusätzlichen Annahmen an das reduzierte Modell her.