Geometry of optimal design and limit theorems

Abstract

Diese Arbeit untersucht das Gebiet der optimalen Versuchsplanung im Sinne der algebraischen Statistik sowie Grenzwertsätze für eine zweiseitige Teststatistik auf Coxeter- Gruppen. Optimale Versuchsplanung für verallgemeinerte lineare Modelle (GLM) ist durch die zunehmende Verbreitung von GLM in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Aufgrund ihrer nichtlinearen Struktur gibt es vielfältige Probleme bei der Berechnung von optimalen Versuchsplänen für GLM, insbesondere da die Optimalität in der Regel nur lokal im Parameterraum gegeben ist. Diese Arbeit soll zeigen, wie durch Anwendung von algebraischen und geometrischen Methoden die Komplexität der Berechnung von optimalen Versuchsplänen für GLM verringert werden kann. Die Arbeit steht damit in der Tradition anderer Arbeiten auf dem Gebiet der algebraischen Statistik. Im ersten Teil der Arbeit werden die notwendige Notation eingeführt und die relevanten mathematischen Grundlagen der statistischen Versuchsplanung, GLM und insbesondere der statistischen Versuchsplanung für GLM erläutert. Nach dieser Einführung beschreiben wir optimale Versuchspläne bezüglich des D-Kriteriums für zwei spezielle GLM. Dabei handelt es sich zunächst um das Bradley{Terry Paarvergleichsmodell, in dem die Präferenz zwischen zwei Alternativen durch eine binäre Zufallsvariable modelliert wird, sodass eine statistische Rangordnung zwischen den Alternativen ersichtlich wird. Wir erhalten eine kombinatorische Beschreibung von D-optimalen Versuchsplänen mit minimalem Träger für das Modell mit beliebig vielen Alternativen und untersuchen die semi-algebraische Geometrie für optimale Versuchspläne für das Modell mit 4 Alternativen. Danach betrachten wir ein spezielles lineares Regressionmodell mit zufälligen Koeffizienten, für welches die Berechnung von optimalen Versuchsplänen durch die Symmetrie und Invarianz des Modells vereinfacht wird. Darauf aufbauend definieren wir die neue Familie der rhombischen Designs und zeigen, dass die D-Optimalität dieser Versuchspl äne direkt von der Korrelationsmatrix der zufälligen Koeffizienten abhängt. Im zweiten Teil der Arbeit präsentieren wir Ergebnisse aus dem Bereich der probabilistischen Kombinatorik. Wir beweisen den zentralen Grenzwertsatz für eine zweiseitige Teststatistik auf Coxeter-Gruppen, also für eine Abbildung, die jedem Gruppenelement und seiner Inverse einen ganzzahligen Wert zuordnet. Die untersuchte Statistik bildet dabei ein Elemtent w aus einer Coxeter-Gruppe W auf die Anzahl der Descents in w plus die Anzahl der Descents in seiner Inversen w-1 ab. Wir zeigen, dass für eine zufällige Folge von Gruppenelementen, welche gleichverteilt aus einer Folge von Coxeter-Gruppen gezogen werden, die Statistik genau dann dem zentralen Grenzwertsatz genügt, wenn die Varianz der Stastik gegen unendlich läuft.

This thesis investigates the design of experiments from the perspective of algebraic statis-tics as well as limit theorems for a two-sided test statistic on Coxeter groups. Design of experiments for generalized linear models (GLM) is a recurring topic for practitioners and statisticians, which is of growing importance due to the widespread application of GLM throughout the sciences. Unfortunately, optimal designs for GLM are often hard to obtain and complicated to apply, as optimality can in general only be achieved locally in the parameter space. This thesis aims at showing a path on how to apply tools from algebra and geometry to reduce the complexity of computing experimental designs for GLM in the tradition of previous research conducted in this branch of the field known as algebraic statistics. In the first part of the thesis, we introduce the notational and mathematical founda-tions of optimal design, GLM and optimal design for GLM. Based on this introduction, we find designs that are optimal with respect to the special but very important D-criterion for two particular models. The first model we investigate is the Bradley–Terry paired comparison model. In this model, each participant voices a preference for one al-ternative over another, which reveals a statistical ranking among the alternatives in the experiment. We obtain a combinatorial description of D-optimal designs with minimal support for an arbitrary number of alternatives and study the semi-algebraic geometry of optimality regions for the case with 4 alternatives. Afterwards, we present a special random coefficient model and exploit the symmetry of the model to reduce the com-plexity of computing optimal designs. We introduce the notion of rhombic designs that suffices to the symmetry of the model and show that the conditions on these designs to be optimal depend directly on the correlation matrix of the random coefficients. In the second part of the thesis, we present results of a different flavor that belong to the field of probabilistic combinatorics. We show a central limit theorem for a two-sided statistic on Coxeter groups, that is a map from a group element and its inverse to the integers. The statistic we study assigns to an element w of a finite Coxeter group W the number of descents of w plus the number of descents of its inverse w−1. Our main result is that the statistic evaluated at a random sequence of group elements uniformly chosen from Coxeter groups of growing rank satisfies the central limit theorem if and only if the variance of the statistic goes to infinity.