Error estimates for a finite difference approximation of mean curvature flow for surfaces of torus type

Abstract

Subject of this work is the geometric evolution equation called mean curvature flow. It evolves a surface pointwise into the direction of its normal with a velocity that is given by the mean curvature at that point. We restrict our attention to surfaces inof torus type. The aim is to approximate a reparametrized version of the flow and derive error estimates for the fully discrete problem. Our strategy is to apply a variant of the well-known DeTurck trick for the reparametrization. The generated evolution equation depends on a parameter α that determines a tangential velocity. Using a finite difference method, we discretize this flow and derive a family of semi-implicit fully discrete approximations. In the convergence proof we obtain optimal-order error bounds in discrete analogs to different Sobolev norms like a discrete H2-norm as well as a discrete L∞-norm. This analysis is complemented with a numerical simulation of the approximated flow. We compute the experimental order of convergence to support the theoretical results and provide an illustration of the influence of α on the approxi-mation.

Gegenstand dieser Arbeit ist der Mean Curvature Flow. Diese geometrische Evolu-tionsgleichung bewegt eine Fläche punktweise in Richtung ihrer Normalen mit einer Geschwindigkeit, die gleich der mittleren Krümmung in diesem Punkt ist. Wir beschrän- ken uns auf Flächen im R3 vom Typ des Torus. Das Ziel ist, eine Umparametrisierung des Flusses zu approximieren und Fehlerabschätzungen für das vollständig diskrete Problem herzuleiten. Die Vorgehensweise besteht dabei darin, eine Variante des bekan-nten DeTurck Tricks für die Umparamterisierung anzuwenden. Dies führt auf eine Evolutionsgleichung, welche von einem Parameter α abhängt und eine durch diesen Parameter bestimmte Geschwindigkeit in tangentialer Richtung besitzt. Der modi-fizierte Fluss wird mittels einer Finite-Differenzen-Methode diskretisiert und somit eine Familie von semi-impliziten, vollständig diskreten Approximationen erzeugt. Der Kon-vergenzbeweis liefert Fehlerschranken optimaler Ordnung in verschiedenen diskreten Normen, welche als Analogon von Sobolev-Normen wie der H2- und der L∞-Norm betrachtet werden können. Die Analyse wird durch eine numerische Simulation des Flusses ergänzt. Wir berechnen zum einen die experimentelle Konvergenzordnung, um die theoretischen Ergebnisse zu stützen, zum anderen illustrieren wir den Einfluss von α auf die Approximation.