Approximated adaptive explicit parametric optimal control

Abstract

Optimal control problems are among the most important formulations and elements in control engineering. Many methods for control, estimation, and monitoring are based on the repeated solution of optimal control problems while the process is running. This leads to high computational effort, especially on the so-called embedded systems with reduced computational power. Therefore control in real-time is not always possible. Despite numerous advances in the field of explicit solutions of optimal control problems, most existing methods are limited to linear systems with quadratic cost functions. In this work, an explicit solution approach based on a power series approach, which was first shown by E. G. Al’brekht, is extended to non-linear parametric systems and the output feedback case. In particular, the case of variable system parameters, which lead to parametric explicit solutions, is considered. In addition, inequality constraints regarding the control input, system’s states, and output values, as well as the regulation without the full state information is examined. Proofs for the existence of optimal solutions in the form of a power series are given. The proofs take up the results and ideas of E. G. Al’brekht and extend them considerably. A significant advantage of polynomial, parametric solutions is their real-time capability, as well as the possibility of explicitly verifying the properties of the resulting control in advance. Furthermore, the parameters can be updated while the process is running. The developed methods and results are verified and validated using simulation studies. In addition to the methodical results, the approaches are implemented in form of a software toolbox.

Optimalsteuerungsprobleme gehören zu den wichtigsten Formulierungen und Elementen in der Regelungstechnik. Viele Methoden der Regelung, Schätzung und Überwachung basieren auf der wiederholten Lösung von Optimalsteuerungsproblemen während der Prozess läuft. Dies stellt insbesondere auf Systemen mit reduzierten Rechenleistungen, sogenannten eingebetteten Systemen, oftmals einen erheblichen Rechenaufwand dar, wodurch Regelung in Echtzeit nicht in jedem Fall möglich ist. Trotz zahlreicher Fortschritte im Bereich expliziter Lösungen von Optimalsteuerungsproblemen, sind diese oftmals auf lineare Systeme mit quadratischen Kostenfunktionen begrenzt. In dieser Arbeit wird ein expliziter Lösungsansatz, basierend auf einem Potenzreihenansatz, der erstmals durch E. G. Al’brekht aufgezeigt wurde, auf nicht lineare parametrische Systeme und den Ausgangsrückführungsfall erweitert. Hierzu wird der optimale Systemeingang mittels einer lokalen Potenzreihe approximiert. Speziell wird der Fall variabler Systemparameter betrachtet, was zu parametrischen expliziten Lösungen führt. Daneben werden Ungleichungsbeschränkungen bezüglich der Eingänge, Zustände und Ausgänge, sowie die Regelung ohne Kenntnis aller Zustände untersucht. Es werden Beweise für die Existenz optimaler Lösungen in Form einer Potenzreihe angegeben, welche die Ergebnisse und Ideen von E. G. Al’brekht aufgreifen, sie aber erheblich erweitern. Ein bedeutender Vorteil von polynomialen, parametrischen Lösungen ist ihre Echtzeitfähigkeit, sowie die prinzipielle Möglichkeit die Eigenschaften der sich ergebenden Regelung explizit vorab zu verifizieren. Weiterhin können die Parameter während des laufenden Prozesses aktualisiert werden. Die entwickelten Methoden und Ergebnisse werden anhand von Simulationsstudien verifiziert und validiert. Neben den methodischen Ergebnissen werden die Ansätze in Form einer Softwaretoolbox implementiert.