Unfitted finite elements for fluid-rigid body interaction problems

Abstract

In this thesis, we develop unfitted finite element techniques to simulate fluid-rigid body interaction problems. The mathematical model for this consists of the incompressible Navier-Stokes equations and rigid body motion, coupled via the transfer of forces at the fluid-solid interface. Our method solves the resulting coupled moving domain problem in a fully Eulerian framework. The discretisations considered in this thesis are based on unfitted finite element approaches (CutFEM). A fixed background mesh is considered in this approach such that moving domain problems can be solved in an Eulerian framework. The geometry is then described through a level set function, boundary conditions are implemented using Nitsche’s method, and the Eulerian approach to the moving domain problem is enabled via an implicit extension of the solution with ghost-penalty stabilisation. As a result of the ghost-penalty stabilisation, the resulting linear systems have bounded condition numbers, independent of the cuts between the level set and the mesh. We begin in the stationary case by analysing an isoparametric unfitted finite element method, with Taylor-Hood elements on the active mesh, applied to the Stokes equations on stationary domains. We then continue to the time-dependent case and analyse the isoparametric CutFEM method for the transient Oseen equation. We continue by using this method to compute a benchmark problem consisting of a freely rotating circular obstacle in a channel flow. To advance to flow problems on moving domains, we develop an Eulerian time-stepping scheme for the time-dependent Stokes problem on moving domains using CutFEM. This method is then analysed with respect to stability and accuracy. In particular, we include in our analysis the geometry approximation error made in CutFEM by the approximation of the level set function. This Eulerian moving domain method is then applied to a flow problem, driven by the motion of a cylinder, to investigate the properties of the moving domain method in the full non-linear Navier-Stokes setting. We progress to coupled fluid-rigid body interaction problems and investigate the stability and accuracy properties of a method, based on our Eulerian time-stepping scheme, for the coupled motion of a solid in free-fall with the fluid. Stability is shown for the time-dependent Stokes problem in the fluid domain, and the error is considered for the reduced case of the heat-equation in the fluid domain. Furthermore, we consider this method for a fluid-structure interaction problem, which is devised from experiential data. This problem includes solid contact and the solid rebounding of the fluid boundary wall. Furthermore, we consider triangular shaped particles as a prototype of non-smooth geometries for the rigid body. These are then represented in CutFEM using multiple level set functions. In order to work with small triangular shaped particles which cannot be resolved sufficiently by the computational mesh, we develop an artificial deep neural network approach to predict the forces acting from the fluid onto the solid. This network predicts the forces more accurately than the direct evaluation of the forces from the FEM solution by using input data, which we can compute accurately on coarse meshes. As a result, the motion of the solid particles we obtain on an under-resolved mesh is comparable to that realised on highly resolved meshes.

Wir entwickeln in dieser Arbeit eine Finite Elemente Methode um Fluid-Festkörper-Interaktionen zu simulieren. Das entsprechende mathematische Modell besteht aus den inkompressiblen Navier-Stokesund Newton-Euler-Gleichgungen. Diese beiden Systeme sind durch die Kräfte am Interface zwischen dem Fluid und dem Festkörper gekoppelt. Unsere Methode löst das hieraus entstehende gekoppelte System in Eulerschen Koordinaten. Die Diskretisierungen, die wir in dieser Arbeit betrachten, basieren auf einer nicht-angepassten Finite- Elemente-Methode (CutFEM). Hier verwenden wir dabei ein festes Gitter einer Hintergrundsgeometrie, wodurch es möglich ist, Probleme mit veränderlicher Geometrie in Eulerschen Koordinaten zu betrachten. Die Geometrie wird dann durch eine Levelset-Funktion beschrieben und Randbedingungen werden mit Nitsche’s Methode erzwungen. Der Eulersche Ansatz für sich bewegende Gebiete wird durch eine implizite Erweiterung der Lösung ermöglicht. Diese Erweiterung wird durch die sogenannte “ghost-penalty” Stabilisierung realisiert. Durch diese Stabilisierung ist zudem gewährleistet, dass die jeweilige Konditionszahl der linearen Gleichungssysteme, die durch die Diskretisierung entsteht, unabhängig von den Schnitten zwischen dem Gitter und der Levelset-Funktion beschränkt bleibt. Zunächst betrachten wir den stationären Fall und analysieren eine isoparametrische CutFEM Methode für die Stokes-Gleichung mit Taylor-Hood Elementen auf dem aktiven Teil des Gitters. Wir gehen dann in den zeitabhängigen Fall über und untersuchen die isoparametrische CutFEM Methode anhand der zeitabhängigen Oseen-Gleichung. Des Weiteren wenden wir die Methode auf ein Fluid-Struktur Problem an, welches aus einer sich frei drehenden Kugel in einer Kanalströmung besteht. Um Stömungsmechanikprobleme auf sich bewegenden Gebieten zu betrachten, entwickeln wir ein Eulersches Zeitschrittverfahren für die zeitabhängige Stokes-Gleichung auf sich bewegenden Gebieten. Diese Methode analysieren wir bezüglich Stabilität und Genauigkeit. Insbesondere berücksichtigen wir hierbei den Geomtrieapproximationsfehler, der bei CutFEM durch die Approximation der Levelset-Funktion entsteht. Des Weiteren wenden wir diese Methode auf ein Beispiel an, in dem das Fluid durch die Bewegung eines Zylinders angetrieben wird, um die Eigenschaften unserer Methode im Falle der nicht-linearen Navier-Stokes Gleichungen zu untersuchen. Wir fahren damit fort, gekoppelte Fluid-Festkörper-Probleme zu betrachten. Basierend auf dem Eulerschen Zeitschrittverfahren analysieren wir die Stabilität und Genauigkeit einer Methode für das gekoppelte Problem eines Festkörpers, der sich im freien Fall in einem Fluid befindet. Wir zeigen die Stabilität der Methode für den Fall der zeitabhängigen Stokes-Gleichung und der Fehler wird im reduzierten Fall der Wärmeleitungsgleichung betrachtet. Wir wenden dann das Eulersche Zeitschrittverfahren an einem Fluid- Struktur-Interaktion Problem an, welches anhand von experimentellen Daten konstruiert wurde. Dieses Problem beinhaltet das Abprallen der Struktur von der Wand des Fluidbehälters. Darüber hinaus betrachten wir dreieckförmige Teilchen als Prototypen von Festkörpern mit nicht-glatter Geometrie. In der CutFEM Methode werden diese durch mehrere Levelset-Funktionen beschrieben. Damit die Bewegung solcher Teilchen auf sehr groben Gittern genau darstellen zu können, entwickeln wir ein künstliches neuronales Netz, das die Kräfte, die von dem Fluid auf die Teilchen wirken, vorhersagen soll. Da dieses Netz Werte als Eingabe erhält, welche auch in sehr grob aufgelösten Gittern genau zu berechnen sind, ist die Bewegung der Teilchen vergleichbar mit der Bewegung, die auf sehr hoch aufgelösten Gittern entsteht.