Overcoming stress singularities : combining phase-field modelling of fracture, strain gradient theory, and isogeometric analysis

Abstract

Klassische Theorien der Kontinuumsmechanik bestimmen Verformungen üblicherweise in Bereichen von Millimetern zu Metern, also auf der sogenannten makroskopischen Skala. Es handelt sich bei diesen Modellen um Annäherungen der physikalischen Realität, die die zugrundeliegende Mikrostruktur vernachlässigen. Beispielsweise kann ein Cauchy-Kontinuum, also ein Kontinuum mit einer elastischen Energie, die als Funktion der Gradienten seiner makroskopischen Verschiebung bestimmt wird, das Verhalten eines physikalischen Systems nur ausreichend annähern, solange die Mikrostruktur eine viel kleinere Längenskala als die Makrostruktur aufweist. Obwohl diese Modelle in theoretischen Studien für große und kleine Maßstäbe genutzt wurden, haben Experimente gezeigt, dass die klassischen Modelle nicht in der Lage sind, die kleineren Skalen richtig abzudecken; insbesondere werden häufig Probleme in Mikro- und Nanodimensionen beobachtet. Größeneffekte, die im Rahmen dieser Theorien nicht erfasst werden können, scheinen die Quelle dieses Problems zu sein. Darüber hinaus ist das Auftreten lokaler Singularitäten an den Rissspitzen (wie auch in Gegenwart von Punkt- und Linienlasten) eine der bekannten Grenzen der klassischen Theorie der Kontinuumsmechanik. Die Verallgemeinerung dieser Modelle durch die Einführung zusätzlicher kinematischer Zusammenhänge zur Berücksichtigung der zugrundeliegenden Mikrostruktureffekte auf makroskopischen Ebenen ist eine Möglichkeit, die oben genannten Probleme zu überwinden. 1964 veröffentlichte Mindlin seine bahnbrechende Arbeit über eine neue Elastizitätstheorie für Kontinua mit Mikrostrukturen. Dieses umfassende Werk vereinfacht die Dehnung von Gradientenelastizitätstheorien, indem es eine Beziehung zwischen den Mikroverformungen und Gradienten der Makroverformungen einführt. In der Dehnungsgradiententheorie enthält das Dehnungsenergiefunktional sowohl die Dehnungsterme als auch ihre Gradienten, was zu Spannungen in Abhängigkeit von höherwertigen Ableitungen des Verschiebungsfeldes führt. Man kann das Spannungsfeld regularisieren und somit die negativen Auswirkungen der Singularitäten beseitigen, indem man diese Dehnungsgradientenmodelle ausnutzt. In letzter Zeit erfreut sich die Phasenfeldmethode im Kontext von Rissausbreitungsvorgängen bei Forschern großer Beliebtheit, da die Verfolgung von Rissoberflächen nicht explizit erforderlich ist. Dies ist bereits eine signifikante Verbesserung bei der Untersuchung des Rissphänomens im Vergleich zu den herkömmlichen numerischen Werkzeugen, bei denen die Finite-Elemente-Methode in Verbindung mit der linear-elastischen Bruchmechanik verwendet wird und die Risse explizit eingeführt werden müssen, indem die Rissspitze verfolgt und während der numerischen Simulation neue interne Grenzen eingeführt werden. Alle aktuellen phasenfeldbasierten Modelle der Bruchmechanik basieren jedoch auf der klassischen Theorie der Kontinuumsmechanik, bei der an der Rissfront singuläre Spannungsspitzen unvermeidlich sind. Obwohl die sogenannte Phasenfeldfunktion das betrachtete Problem reguliert und damit die Auswirkungen einer Singularität mildert, ist das singuläre Verhalten im mathematischen Modell immer noch vorhanden und wirkt daher spürbar auf die Qualität der Endergebnisse. Ziel des aktuellen Beitrags ist es zunächst, die nachteiligen Auswirkungen der auftretenden Singularitäten aufzuzeigen, die in vielen aktuellen Forschungsaktivitäten aus verschiedenen Gründen vernachlässigt zu werden scheinen. Zur Validierung bzw. Verifizierung der theoretischen Herleitungen werden in den meisten Fällen eindimensionale Beispiele untersucht und die beobachteten Funde anschließend auf höherdimensionale Fälle übertragen. Dieszüglich ist festzuhalten, dass das klassische Cauchy-Kontinuum im eindimensionalen Fall keine Singularitäten aufweist. Daher ist die Annahme, dass die für den eindimensionalen Fall gezogenen Schlussfolgerungen auch für höherdimensionale Probleme vollständig wirksam sind, kritisch zu sehen. Ausschließlich bei zwei- und dreidimensionalen Fragestellungen tritt das Problem der Singularitäten bei der Nutzung von linien- und punktförmigen Randbedingungen auf. Kurz gesagt, gibt es in diesen Fällen keine Beiträge zur internen Arbeit zur Aufrechterhaltung von Linien- und Punktkräften. Das zweite Ziel dieser Arbeit ist es, ein Modell vorzustellen, das die Dehnungsgradiententheorie im Rahmen der Phasenfeldbruchmechanik nutzt, um diese nachteiligen Effekte zu beseitigen. Es werden in dieser Arbeit zwei Formulierungen für die Nutzung von Dehnungsgradienten in den Phasenfeldmodellen zweiter und vierter Ordnung vorgeschlagen. Es wird gezeigt, dass die erarbeiteten Gradientenmodelle die klassischen Modelle verbessern, indem sie die Singularitäten regularisieren. Darüber hinaus deuten die numerischen Ergebnisse darauf hin, dass das Modell vierter Ordnung dem Modell zweiter Ordnung überlegen ist, da es realistischere Lösungsmerkmale bietet. Ein weiterer Vorteil der Formulierung vierter Ordnung ist die signifikante Reduzierung der Netzempfindlichkeit in numerischen Simulationen. Im Rahmen dieser Dissertation wird gezeigt, dass zukünftige Ansätze zur Phasenfeldmodellierung von Rissausbreitungsvorgängen die Auswirkungen von Spannungssingularitäten berücksichtigen müssen, um realistischere Ergebnisse zu erzielen.

Originally, the classical continuum mechanics theories are supposed to determine deformations in ranges from millimeter to meter at the so-called macroscopic scales. In fact, these models are approximations of physical systems neglecting the underlying microstructure. For instance, a Cauchy continuum, i.e., a continuum with an elastic energy determined as a function of the gradients of its macroscopic displacement, can only approximate the behavior of a physical system sufficiently as long as the microstructure has a much smaller length-scale than the macrostructure. Although these models were exploited in studies for large and small scales, experiments have shown that the classical models are not able to properly cover the smaller scales; in particular, problems in micron- and nano-dimensions are frequently observed. Size effects, which cannot be captured exploiting these theories, seem to be the source of this issue. On top of that, the appearance of local singularities at the crack tips (or more broadly, in the presence of point and line loads) is one of the known limitations of the classical continuum mechanics theory. Generalizing these models by introducing additional kinematic terms to consider the underlying microstructure effects at macroscopic levels is one way of overcoming the aforementioned problems. In 1964, Mindlin published his seminal work on a new elasticity theory for continua with microstructures. This broad-spectrum framework simplifies to strain gradient elasticity theories by introducing the relation between the micro-deformations and gradients of the macro-deformations. In the strain gradient theory, the strain energy functional contains both the strain terms and their gradients, which leads to stresses depending on higher-order derivatives of the displacement field. One can regularize the stress field and therefore, remove the negative effects of the singularities by exploiting these strain gradient models. Recently, the phase-field modelling of fracture is becoming very popular among researchers due to the fact that the tracking of crack surfaces is not explicitly required. This is already a significant improvement in studying the fracture phenomenon, compared to the conventional numerical tools where the finite element method is used in conjunction with linear elasticity fracture mechanics and the cracks must be introduced explicitly by tracking the crack tip and introducing new internal boundaries during the numerical simulation. However, all current phase-field based models of fracture mechanics are based on the classical continuum mechanics theory, where singular stress fields are inevitable at the crack front. Although the so-called degradation function regularizes the problem under consideration and thus, mitigates the effects of a singularity, the singular behavior is still present in the mathematical model and therefore, exerts a notable effect on the final results. The goal of the current contribution is first to demonstrate the adverse effect of the singularity which seems to be neglected in current investigations for different reasons. In fact, to validate the theoretical derivations, more often than not one-dimensional examples are investigated and the observed finding are subsequently transferred to higher-dimensional cases. In that regard, it is important to realize that the classical Cauchy continuum does not suffer from any singularities in the one-dimensional case. Therefore, assuming that conclusions drawn for the one-dimensional case are also fully valid for higher-dimensional problems must be seen very critically. Only in two and three dimensions the problem of singularities arises when applying line and concentrated boundary conditions. Roughly speaking, in these cases, there are no contributions to the internal work to sustain line and point forces. The second goal of this work is to propose a model to integrate the strain gradient theory within the phase-field fracture mechanics framework in order to remove these spurious effects. Two strain gradient enhanced formulations are proposed based on the second-order and the fourth-order phase-field fracture models. It is shown that the proposed gradient models improve the performance of the classical models by regularizing the singular response. Moreover, the numerical results indicate that the proposed fourth-order model is superior to the second-order one in that it provides more realistic solution characteristics. Another advantage of the fourth-order formulation is the significant reduction of mesh sensitivity in numerical simulations. With this contribution, it has been demonstrated that future approaches directed towards phase-field fracture modelling need to take the effects of stress singularities into account to achieve more realistic results.