Local arguments for Glauberman's Z*-Theorem - [kumulative Habilitation]

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird Glaubermans Z*-Satz unter der zusätzlichen Voraussetzung bewiesen, dass die einfachen Gruppen, die in gewisser Weise in Zentralisatoren isolierter Involutionen involviert sind, bekannt sind. Dabei geht es weniger um das Resultat selbst als um die im Beweis verwendeten Methoden - schließlich ist der Satz bekannt und wurde von Glauberman mit eleganten Argumenten aus der modularen Darstellungstheorie bewiesen. Dabei ist offen geblieben, ob man sich dem Satz auch mit den Mitteln der lokalen Gruppentheorie nähern kann. Bei der neuen Herangehensweise stehen lokale Methoden im Mittelpunkt: teilerfremde Operation, die Bender-Methode, Balance-Argumente und Signalisatorfunktoren, Fusionsargumente und neue Resultate über spezielle primitive Paare.

This thesis provides a new proof of Glauberman's Z*-Theorem under the additional hypothesis that the simple groups that are, in a particular way, involved in the centraliser of an isolated involution, are known simple groups. Here the theorem itself is less relevant than the methods used because, since Glauberman's original proof with methods from modular representation theory, it was an open question whether or not it is possible to make progress towards a new proof using only methods from local group theory. The new approach presented in this thesis is based on local group theoretic arguments such as coprime action, the Bender method, balance and signalizer functor arguments, fusion arguments and new results about special primitive pairs.