Rayleigh-Taylor instability for the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension in cylindrical domains

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem dynamischen Verhalten zweier nicht mischbarer, inkompressibler Fluide in einem zylindrischen Gefäß, z.B. eine Kapillare, welche durch eine scharfe Grenzschicht voneinander getrennt sind. Befindet sich die Flüssigkeit mit der größeren Dichte über der Flüssigkeit mit kleinerer Dichte, so würde man erwarten, dass die schwerere Flüssigkeit in die leichtere nach unten durchsackt. Diesen Effekt bezeichnet man als Rayleigh-Taylor-Instabilität. Das Hauptresultat dieser Arbeit liefert die Existenz einer kritischen Oberflächenspannung mit der folgenden Eigenschaft. Ist die Oberflächenspannung der Grenzschicht zwischen den beiden Flüssigkeiten kleiner als die kritische Oberflächenspannung, so liegt Rayleigh-Taylor-Instabilität vor. Hat die Grenzschicht hingegen eine größere Oberflächenspannung als der kritische Wert, so tritt dieser Effekt nicht auf und man erhält exponentielle Stabilität der Grenzschicht. Der letzte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Verzweigung nichttrivialer Equilibria in mehrfachen Eigenwerten. Die Invarianz der Verzweigungsgleichung unter Rotationen und Spiegelungen liefert die Existenz von abzweigenden subkritischen Equilibria. Schließlich wird bewiesen, dass die abzweigenden Equilibria stets instabil sind.

The present thesis is concerned with the dynamic behaviour of two immiscible and incompressible fluids in a cylindrical container, e.g. a capillary, which are separated by a sharp interface. In case that the heavier fluid overlies the lighter fluid one expects that the heavier fluid sacks down into the lighter one. This effect is known as the Rayleigh-Taylor-Instability. The main result yields the existence of a critical surface tension with the following property. In case that the surface tension of the interface between the two fluids is smaller than the critical surface tension, one has Rayleigh-Taylor-Instability. On the contrary, if the interface has a greater surface tension than the critical value, the instability effect does not occur and one has exponential stability of the interface. The last part of this thesis is concerned with the bifurcation of nontrivial equilibria in multiple eigenvalues. The Invariance of the bifurcation equation with respect to rotations and reflections yields the existence of bifurcating subcritical equilibria. Finally it is proven that the bifurcating equilibria are unstable.