Eigenlösungen der Maxwellgleichungen auf S1 x S3 und konforme Symmetrie, Untersuchungen am U(2)-Programm

Abstract

In dieser Arbeit werden die Lösungen der quellenfreien Maxwellgleichungen in dem kompakten Raum S1 × S3 mit pseudoriemannscher Signatur ermittelt. Dabei sollen die Lösungen Eigenlösungen zu den Erzeugenden der Cartan-Unteralgebra der konformen Gruppe SU(2,2) sein. Die Cartan-Unteralgebra entspricht topologisch einem (maximalen) Torus, der durch die S1-Richtung und die zwei Heegaard-Tori der S3 aufgespannt wird. Die Komponenten der Lösungen lassen sich mit verwandten Riemannschen P-Funktionen, genauso wie die bereits bekannten Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung, darstellen. Es werden zwei Spezialfälle untersucht, die zu interessanten Lösungen führen: Für ein skalares Feld mit diskretem Massenspektrum ist jeder vierte Wert (m0=2 Mod 4) verboten. Harmonische Vektorpotentiale, die nur entlang dem maximalen Torus agieren, lassen sich in drei Klassen mit je zwei freien Quantenzahlen (Eigenwerten) und einer vierten Klasse ohne freier Quantenzahl zusammenfassen. Wegen einer konformen Äquivalenz zum Minkowskiraum lassen sich die Lösungen auch im Rahmen einer konformen Feldtheorien interpretieren.

The solutions of Maxwell’s equations on the compact manifold S1 × S3 with pseudoriemannian signature are determined. Their form form is chosen with respect to the Cartan subalgebra of the conformal group SU(2,2) to be eigensolutions of the generating operators. Topologically the Cartan subalgebra corresponds to a (maximal) torus, created by the S1 direction and the two Heegaard tori of the 3 sphere. The components of the solutions are represented by contiguous Riemann’s P-functions, like the known solutions of the Klein-Gordon equation are represented too. In two special cases some interesting results occur. For a scalar field with discrete mass spectrum every fourth mass value (m0=2 Mod 4) is forbidden. Harmonic potentials of Maxwell’s equations with restriction on the maximal torus occur in three classes of solutions with two free quantum numbers (eigenvalues) each and a fourth class with fixed quantum numbers. As the manifolds S1 × S3 and M4 are conformal equivalent ones the solutions may be interpreted in a conformal field theory.