Zur numerischen Behandlung räumlicher mehrdimensionaler parabolischer Differentialgleichungen mit linear-impliziten Splitting-Methoden und linearer partieller differentiell-algebraischer Systeme

Abstract

Die zunehmende Komplexität mathematischer Modellierungen erfordert sowohl die Entwicklung effektiver und zuverlässiger numerischer Integrationsverfahren für spezielle Klassen partieller Differentialgleichungssysteme als auch die Einbeziehung neuer Probleme in die Betrachtungen. Im ersten Teil wird eine Klasse linear-impliziter Splitting-Methoden zur numerischen Lösung räumlich mehrdimensionaler parabolischer Anfangs-Randwertprobleme entwickelt. Gegenstand der Betrachtungen ist die numerische Lösung des aus der vertikale Linienmethode erhaltenen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems. Dieses semidiskrete System ist für feine Ortsgitter sehr groß und steif, besitzt aber eine spezielle Struktur. Splitting-Methoden nutzen diese Struktur zur Reduzierung des Rechenaufwandes aus. Es wird auf die Stabilität von linearen Operator-Splitting-Methoden eingegangen und geeignete Stabilitätsbegriffe definiert. Anschließend wird eine neue Klasse von linear-impliziten Splitting-Methoden eingeführt und untersucht, die gute Stabilitätseigenschaften mit guter Implementierbarkeit verbinden. Es werden spezielle Verfahren angegeben und ihre Effektivität anhand von numerischen Testrechnungen illustriert. Die Betrachtungen zum zweiten Schwerpunkt der Arbeit wenden sich einer speziellen Klasse von Systemen partieller Differentialgleichungen zu, die aus einer Kopplung von Gleichungen unterschiedlichen Typs bestehen, die auch als partielle differentiell-algebraische Gleichungen (engl.: PDAEs, partial differential algebraic equations) bezeichnet werden. Es werden (zeitabhängige) partielle Differentialgleichungen z.B. mit DAEs oder ODEs oder algebraischen Gleichungen gekoppelt. Ziel ist es, eine Charakterisierung der Eigenschaften linearer PDAEs der Form Au(t,x)+Bu(t,x)+Cu(t,x)=g(t,x) mit A, B, C ∈ R^nxn zu geben. Mindestens eine der beiden Matrizen A, B sei dabei singulär. Für eine eindeutige Lösbarkeit muß die PDAE durch Anfangs- und geeignete Randbedingungen ergänzt werden. Dabei wird ausgeführt, daß im Gegensatz zu PDEs mit regulären Matrizen A; B bei singulärem A und/oder B nicht für alle Komponenten von u Anfangs- und/oder Randbedingungen vorgegeben werden können. Die lineare PDAE wird der Laplace- und einer endlichen Fouriertransformation unterzogen. Auf dieser Grundlage werden in Analogie zur Theorie der DAEs ein differentieller Ortsindex und ein einheitlicher differentieller Zeitindex für lineare PDAEs eingeführt. Diese charakterisieren spezielle Eigenschaften der betrachteten Problemklasse sowohl bez. der analytischen Lösung als auch der numerischen Behandlung. Zur numerischen Lösung wird das BTCS Schema und das Crank-Nicolson Verfahren betrachtet. Unter gewissen Voraussetzungen werden Konvergenzaussagen in Abhängigkeit der beiden Indexe getroffen. Einige numerische Testrechnungen illustrieren die Ergebnisse und die Besonderheiten linearer PDAEs bei der numerischen Behandlung.

There are numerous mathematical models in science and engineering which lead to a special class of time depending partial differential equations. This requires the development of effective and robust integration methods as well as to consider new problem classes. In the first part of this thesis a class of linearly implicit splitting methods for the numerical solution of higher space-dimensional parabolic initial-boundary value problems is developed. Following the method of lines the numerical solution of the system of ordinary differential equations arising from the semi-discretisation in space is considered. This system is large and stiff for small step-sizes in space and has a special structure. Using this structure splitting methods reduce the computational costs. In the thesis the stability of linear splitting methods is investigated and new stability concepts for linear splitting methods are given. The introduced new class of linearly implicit splitting methods have good stability properties, are consistent of classical order two and are easy to implement, where only linear equation systems with tridiagonal coefficient matrices have to be solved. Numerical examples illustrate the efficiency of the methods. In the second part of the thesis a special class of systems of partial differential equations is considered, which consist of a coupling of equations of different types. For example, timedepending partial differential equations are coupled with DAEs or ODEs or algebraic equations. These systems are also called partial differential algebraic equations (PDAEs). In this thesis linear PDAEs with constant coefficient matrices of the form Au(t,x)+Bu(t,x)+Cu(t,x)=g(t,x) mit A, B, C ∈ R^nxn are investigated. Hereby, at least one of the matrices A, B is singular. For a unique solvability these systems must be supplemented by suitable initial conditions and boundary conditions. Of importance for the treatment of PDAEs is the fact that, in contrast to systems with regular matrices A; B, for singular matrices A and/or B not for all components of the solution vector u initial and/or boundary conditions can be prescribed. Under some assumptions the linear PDAE can be reduced by a Laplace transformation or by a Fourier analysis to a sequence of differential algebraic systems (DAEs). On this basis a differential space index and an uniform differential time index for linear PDAEs are defined. These indexes are used to characterise the PDAE in several contexts. Furthermore, two numerical schemes for solving initial boundary value problems of linear PDAEs by means of the method of lines (MOL) are investigated. It is shown that there is a strong dependence of the order of convergence on these indexes. We present examples for the calculation of the order of convergence and give results of numerical calculations for several aspects encountered in the numerical solution of PDAEs.