Derivierte Mengen in der multikriteriellen Optimierung

Abstract

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Herleitung von notwendigen Optimalitätsbedingungen für multikriterielle Optimierungsaufgaben. Hierzu wird hauptsächlich das Konzept der sogenannten derivierten Mengen angewendet. Derivierte Mengen wurden um 1965 von Hestenes für skalare Optimierungsaufgaben eingeführt. Sie stellen einen sehr allgemeinen Ableitungsbegriff dar. 1994 übertrug Breckner dieses Konzept auf den multikriteriellen Fall. Mit Hilfe derivierter Mengen können notwendige Optimaitätsbedingungen in Form Lagrangescher Multiplikatorenregeln aufgestellt werden. Die Arbeit liefert zunächst eine Einführung in diese Theorie, die so angelegt ist, daß der Leser gleichzeitig einen Einblick in wichtige strukturelle Eigenschaften des so eingeführten Ableitungsbegriffs erhält. Anschließend beschäftigt sich die Arbeit mit Aussagen über die Existenz derivierter Mengen sowie über die Möglichkeit der Konstruktion derartiger Mengen in gewissen Fällen. Dabei werden Zusammenhänge deutlich, die zwischen einigen bekannten Ableitungsbegriffen und den derivierten Mengen bestehen. Ferner wird mit Hilfe der Variationsprinzips von Ekeland in Analogie zur Multiplikatorenregel von Breckner eine Optimalitätsbedingung für Näherungslösungen der betrachteten multikriteriellen Aufgabe hergeleitet. Hierfür wird eine vektorwertige Version des Variationsprinzips angewendet. Die Herleitung gelingt nur unter zusätzlichen Voraussetzungen, jedoch wird gezeigt, daß diese Voraussetzungen nicht sonderlich einschneidend sind und in vielen Anwendungsfällen bereits erfüllt sind. Abschließend widmet die Arbeit den Regularitätsbedingungen. Ausgehend von der bei Hestenes angegebenen Bedingung wird ein Analogon für die Brecknersche Multiplikatorenregel hergeleitet. Es wird gezeigt, daß die so gewonnene Bedingung sowohl hinreichend als auch notwendig für die Regularität der Aufgabenstellung ist. In Spezialfällen wird ein Vergleich mit den für gewöhnlich verwendeten Bedingungen, die Regularität lediglich anhand der zulässigen Menge untersuchen (sogenannte constraint qualifications), durchgeführt. Aus erkenntnistheoretischer Sicht wird die These aufgestellt, daß solche Bedingungen regelmäßig zu harte Anforderungen stellen und daher keine feine Unterscheidung zwischen regulären und irregulären Problemstellungen erlauben.

The present dissertation deals with the deduction of necessary optimality conditions for multicriterial optimization problems. Mainly, the concept of so-called derived sets is applied. Derived sets were introduced about 1965 by Hestenes for scalar optimization problems. In fact, derived sets represent a quite generalized term of a derivative. In 1994, Breckner translated this term into the multiobjective case. By using derived sets, necessary optimality conditions can be given in form of Langrange multiplier rules. First of all, the dissertation presents an introduction in this theory. This way, the reader gets a survey of the most important structural properties of the terms introduced so. In the following, there are given some results concerning the existence of derived sets as well as the construction possibilities of these sets in some cases. Connecting with this, some relationship between well-known concepts of derivation and derived set becomes evidently. By mean of Ekeland‘s variational principle, an optimality condition for approximate solutions of the considered multicriterial optimization problem analogously to Breckner‘s multiplier rule is deduced. For to do so, a vector-valued version of the variational principle is applied. The deduction makes use of some additional assumptions on the appearing derived sets, however it is shown these assumptions being not stringent but fulfilled in many application cases. The final item is dedicated to the regularity conditions. Looking at the regularity condition appearing in Hestenes’ paper, an analogon for Breckner‘s multiplier rule is derived. The condition received so is shown to be sufficient as well as necessary. In special cases, this condition is compared with the constraint qualifications applied usually as regularity conditions. From the theory of cognition, the assertion is made constraint qualifications being structurally caused too hard, what implies that these conditions do not admit a sharp distinction between regular and irregular problem data.