Optimum design in nonlinear and generalized linear mixed models

Abstract

Generalized linear and nonlinear mixed effects models have been used in many fields of application, such as psychology, medicine, and engineering, etc. There are multiple observations within subjects over time. Hence, the structure of the data in these models is longitudinal. This means that data within each subject are correlated and between the subjects are uncorrelated. In this dissertation, we treat the binary and ordinal mixed effects regression model, where the response variable includes two or more than two levels, respectively. Moreover, a nonlinear longitudinal Poisson regression model is considered to test the ability of the subjects. For estimating the model parameters, we intend to use the maximum likelihood estimator of the parameters due to its well behaved asymptotic properties; however, because the form of the log-likelihood function does not have a closed form, we have to choose an alternative estimation method. The quasi maximum likelihood estimation method is a suitable suggestion for this aim. To determine this estimate, it is required to build the quasi log-likelihood function. This function depends on the marginal first and second order moments of the response variable. These moments do not have an explicit closed form in the binary and ordinal mixed effects models, either, and have to be approximated, too. In contrast to that in the longitudinal Poisson regression model the required moments have an explicit analytical Under sufficient conditions for the quasi maximum likelihood estimate of the parameters, we aim to achieve the D-optimum designs for the experimental settings. Therefore, we construct the quasi Fisher information matrix and establish the corresponding D-optimality criterion. In the binary and ordinal mixed effects models, the quasi Fisher information matrix lacks the analytical form. Hence, we approximate it for particular cases of the models. On the other hand, in the longitudinal Poisson regression model, the quasi Fisher information matrix has the closed form and can be used directly. Finally, the D-optimum designs based on the quasi Fisher information matrix are computed and their sensitivity is investigated with respect to various values of model parameters is investigated. Further, in the longitudinal Poisson model, an equivalence theorem for the evaluation of D-optimum designs is derived and the efficiency of D-optimum designs with respect to parameter misspecification is computed. In this model, these designs are quite robust over the settings considered. In contrast, in binary mixed effects model they are truly sensitive with respect to some changes of model parameters. In ordinal mixed effects model, the two point D-optimum designs are transformed to one point D-optimum design under some initial values of model parameters.

Verallgemeinerte lineare und nichtlineare Modelle mit gemischten Effekten werden in vielen Anwendungsbereichen wie Psychologie, Medizin, Ingenieurwesen usw. verwendet. Die Struktur der Daten in diesen Modellen ist longitudinal. Das bedeutet, dass dass wiederholt Daten innerhalb jedes Subjekts erhoben werden und damit die Daten innerhalb jedes Subjekts korreliert und zwischen den Subjekten unkorreliert sind. In dieser Dissertation untersuchen wir das binäre und ordinale Regressionsmodell mit gemischten Effekten, bei dem die Antwortvariable zwei beziehungsweise mehr als zwei Stufen umfasst. Außerdem wird ein nichtlineares longitudinales Poisson-Regressionsmodell betrachtet, um die Entwicklung Fähigkeit von Probanden über einen längeren Zeitraum zu testen. Für die Schätzung der Modellparameter wird üblicherweise, die Maximum- Likelihood-Schätzung der Parameter aufgrund ihrer guten asymptotischen Eigenschaften verwendet. Da die Log-Likelihood-Funktion jedoch keine geschlossene Darstellung besitzt, müssen wir ein alternatives Schätzverfahren wählen. Die Methode der Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung ist ein geeignetes Verfahren für diesen Zweck. Um diese Schätzung zu bestimmen, ist es erforderlich, die Quasi-Log-Likelihood-Funktion aufzustellen. Diese Funktion ist abhängig von den marginalen Momenten erster und zweiter Ordnung der Antwortvariablen. Diese Momente haben in den binären und ordinalen Modellen mit gemischten Effekten ebenfalls keine explizite geschlossene Form. Im Gegensatz hierzu besitzen im betrachteten longitudinalen Poisson-Regressionsmodell die benötigten Momente eine explizite analytische Form, so dass die Quasi-Likelihood-Funktion direkt angegeben werden kann. Unter Annahmen für die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung der Parameter können wir dann D-optimale Designs bestimmen. Dafür konstruieren wir die Quasi-Fisher-Informationsmatrix und führen das entsprechende D-Optimalit ätskriterium ein. Bei binären und ordinalen Modellen mit gemischten Effekten hat die Quasi-Fisher-Informationsmatrix keine analytische Form; daher approximieren wir diese für einige Spezialfälle dieser Modelle. Die Quasi- Fisher-Informationsmatrix für das longitudinale Poisson-Regressionsmodell eine geschlossene Form was eine direkte bestimmung erlaubt. Schließlich werden das D-optimale Design auf der Grundlage dervorliegenden Ergebnisse bestimmt und deren Sensitivität in Bezug auf verschiedene Werte der Modellparameter untersucht. Ferner wird für das longitudinale Poisson-Modell ein Äquivalenzsatz zur Valisierung D-optimalen Designs aufgestellt und die Effizienz optimaler Designs unter Misspezifikation der Modellparameter berechnet. In diesem Modell sind diese Designs über die betrachteten Einstellungen ziemlich robust. Im Gegensatz, in binären Mischwirkungen modellieren sie sind in Bezug auf einige Änderungen von Musterrahmen aufrichtig empfindlich. Im gemischten Wirkungsmodell der Ordnungszahl werden die zwei Punkt-D-Optimum-Designs in ein Punkt-D-Optimum-Design unter einigen Anfangswerten von Musterrahmen umgestaltet.