On generalized fixed point free automorphisms of finite groups

Abstract

Die Dissertation beweist den folgenden Satz: Sei G eine endliche Gruppe und α ∈ Aut(G), so daß G = CG(α) {[g,α] : g ∈ G} ist und G = [G,α]. Dann ist G auflösbar. Dies verallgemeinert einen Satz von P. Rowley über fixpunktfreie Automorphismen. Der Beweis dieses Satzes beruht wesentlich auf der Tatsache, daß ein minimales Gegenbeispiel eine endliche nichtabelsche einfache Gruppe ist. An diesem Punkt wird die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen angewendet. Es wird gezeigt, daß keine der endlichen nichtabelschen einfachen Gruppen solche Automorphismen besitzt. Eine äquivalente Formulierung des Satzes ist die folgende: Sei G eine endliche Gruppe, so daß eine Konjugiertenklasse C von G einen Schnitt bildet bezüglich einer Untergruppe von G. Dann ist die von C erzeugte Untergruppe auflösbar. Als Korollar folgt die Auflösbarkeit der innere Automorphismengruppe einer rechtsdistributiven Quasigruppe. Dies verallgemeinert ein Resultat von B.Fischer für distributive Quasigruppen.

The thesis proves the following theorem: Let G be a finite group and α ∈ Aut(G) such that G = CG(α) {[g,α] : g ∈ G} and G = [G,α]. Then G is solvable. This generalizes a theorem by P. Rowley about fixed point free automorphisms. The proof is heavily based on the fact that a minimal counterexample is a finite nonabelian simple group. At this point the classification of finite simple groups is used. It is shown that none of the finite nonabelian simple groups possesses such automorphisms. An equivalent statement is the following: Let G be a finite group such that a conjugacy class C of G forms a transversal for some subgroup of G. Then the subgroup generated by C is solvable. As a corollary we get the solvability of the inner automorphism group of a rightdistributive quasigroup. This generalizes a result of B.Fischer for distributive quasigroups.