Convergence to steady state for a phase field system with memory

Abstract

Das Anliegen dieser Dissertation besteht aus zwei Teilen. Das erste Ziel ist das Studium der Lp-Theorie für eine Klasse von Phasenfeldmodellen mit Gedächtnis. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Nichtlinearitäten und die Anfangswerte weisen wir die lokale Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen nach. Die Grundidee für den Beweis besteht aus dem Nachweis optimaler Lp-Regulatität für das zugehörige lineare Problem. Dies erlaubt es uns, das ursprüngliche nichtlineare Problem als eine Fixpunktgleichung in der gewünschten Regulatitätsklasse zu formulieren. Mit Hilfe des Kontraktionsprinzips erhalten wir so eine eindeutige lokale Lösung auf einem hinreichend kleinen Zeitintervall. Durch Anwendung der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung und einiger geeigneter Energie-Abschätzungen erhalten wir schließlich die globale Wohlgestelltheit des Systems im Lp-Sinne. Der Hauptteil dieser Arbeit besteht aus dem Nachweis der Konvergenz der Lösungen des konservierten Phasenfeldmodelles gegen ein Equilibrium. Im Allgemeinen ist die Menge aller Equilibria nicht diskret. Daher folgt die Konvergenz nicht direkt aus dem Invarianzprinzip von La Salle. Um dieses Problem zu beheben, konstruieren wir zunächst eine geeignete Lyapunov-Funktion und verwenden die sogenannte Łojasiewicz-Simon-Ungleichung für das (natürliche) Energiefunktional des entsprechenden stationären Problems.

The purpose of the present thesis is twofold. The first objective is the study of the Lp-theory of a class of phase field models with memory. Under appropriate assumptions on the nonlinearities and the initial data we prove existence and uniqueness of local (in time) strong solutions. The basic idea of the proof is to establish optimal regularity estimates of type Lp for an associated linear problem which allows us to reformulate the original problem as a fixed point equation in the desired regularity class. For a sufficiently small time-interval existence and uniqueness of a local solution is then obtained with the aid of the contraction mapping principle. Then by an application of the Gagliardo-Nirenberg inequality and some suitable energy estimates we prove the global well-posedness of the system. The second and main goal of this thesis consists in proving convergence to steady state for a conserved phase field model with memory. In general the set of all stationary points may be highly non-discrete. Therefore convergence does not follow directly from La Salle's invariance principle. To solve this problem we construct an appropriate Lyapunov function and employ the so-called Łojasiewicz-Simon inequality for the (natural) energy functional associated with the corresponding stationary problem.