Optimal designs for paired comparison experiments

Abstract

The aim of this thesis is to derive optimal designs for linear paired comparison models with second- or third-order interactions in an analysis of variance setup where the attributes are qualitative with the same number of levels each. After the first introductory chapter on the problem and the literature some basic concepts are presented in the Chapter 2 about paired comparison experiments in the linear model setup, and particular emphasis is laid on the special case of the part-worth model in which the influence of the attributes is additive and consists only of main effects without interactions. The fundamentals and general descriptions of optimal designs as well as some commonly used optimality criteria are presented in Chapter 3. In Chapters 4 and 5 results are presented on optimal designs for the part-worth model and a model with first-order interactions, respectively, which have been known from the literature and where components of a single attribute are used as building blocks for the holistic approach. A powerful tool for characterizing the optimal designs in these models is given by the concept of invariance. These concepts are extended to linear paired comparison models with second-order interactions in Chapters 6 and 7 for binary attributes and for attributes with a general common number of levels, respectively. A general statement on the maximal number of types of pairs can be formulated for optimal designs, where orbits are specified by the number of attributes in which the two alternatives differ. While for part-worth (main effects) models optimal designs consist of those alternatives which differ in all attributes and for first-order interactions they consist of those pairs of alternatives which differ in about half of the attributes, respectively, there seems to be no clear general rule in models with second-order interactions. For models with small profile strengths analytic results can be obtained for optimal designs while for larger profile strengths optimal designs have to be determined numerically. Moreover, for binary attributes optimal designs require two types of pairs in which either all attributes have distinct levels or approximately half of the attributes are distinct and the other half of the attributes coincide. For larger number of levels mostly one type of pairs is sufficient. In some exceptional cases two types of pairs are needed, and only for the full interaction case all types are required. In Chapters 8 and 9 these results are extended to paired comparison models with third-order interactions. For binary attributes two types of pairs have to be considered for which the numbers of distinct attributes are symmetric with respect to about half of the profile strength. For larger number of levels again only one type of pair is sufficient in nearly all cases. The thesis is concluded with a brief discussion and an outlook on future research.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung optimaler experimenteller Designs für Paarvergleichsmodelle unter Zugrundelegung von Linearen Modellen der Varianzanalyse mit Wechselwirkungen zweiter bzw. dritter Ordnung. Dabei setzen sich die Alternativen aus mehreren, die Entscheidungen beeinflussenden Attributen zusammen, die jeweils auf eine feste Anzahl von Ausprägungen (Stufen) eingestellt werden können. Nach einem einleitenden Kapitel in die Problemstellung und die Literatur werden im zweiten Kapitel die grundlegenden Konzepte für Paarvergleiche im Linearen Modell eingeführt. Dabei wird der klassische Spezialfall des Teilwertmodells, in dem nur Haupteffekte der Attribute und keine Wechselwirkungen auftreten, gesondert behandelt. Darauf folgen im drtitten Kapitel grundlegende Erläuterungen zu optimalen Designs sowie zu üblicherweise verwendeten Optimalitätskriterien. Die Interaktionsmodelle zweiter und dritter Ordnung, welche das Teilwertmodell mit Komponenten eines einzelnen Attributs als Bausteine für die Resultate benutzen, sowie die Interaktionsmodelle erster Ordnung, werden in Kapitel 4 und 5 beschrieben. Von besonderer Relevanz ist dabei das Konzept der Invarianz. In den Kapiteln 6 und 7 werden diese Konzepte auf lineare Paarvergleichsmodelle mit Interaktionen zweiter Ordnung und binären Attributen, sowie Attributen von identischer Stufenanzahl, erweitert. Hierbei kann ein allgemeingültiges Resultat über die maximale Anzahl benötigter Typen von Paaren für optimale Designs formuliert werden, wobei die verschiedenen Typen von Paaren durch die Anzahl von unterschiedlichen Attributen der Alternativen spezifiziert werden. Dabei bestehen optimale Designs für Teilwertmodelle aus den Alternativen, in denen sich alle Attribute unterscheiden, während Interaktionsmodelle erster Ordnung aus Alternativen bestehen, die sich in ungefähr der Hälfte der Attribute unterscheiden. Im Fall der Interaktionsmodelle zweiter Ordnung scheint es keine derart allgemeingültige Regel zu geben. Für Modelle von kleinen Profilstärken können analytische Lösungen für optimale Designs gefunden werden, während größere Profilstärken numerische Methoden erfordern. Zudem bedürfen optimale Designs im Fall von binären Attributen zweier Typen von Paaren, in denen entweder alle Attribute unterschiedliche Stufen haben oder ungefähr jeweils die Hälfte der Attribute identisch und unterschiedlich sind. Für eine größere Anzahl von Stufen genügt in der Regel ein Typ von Paaren. In Ausnahmefällen bedarf es zweier Typen von Paaren, und nur für den Fall vollständiger Interaktion werden alle Typen von Paaren benötigt. In den Kapiteln 8 und 9 werden die zuvor beschriebenen Resultate auf Paarvergleichsmodelle mit Interaktionen der dritten Ordnung erweitert. Für binäre Attribute müssen wieder zwei Typen von Paaren verwendet werden, für die die Anzahl der verschiedenen Attribute symmetrisch zur Hälfte der Profilstärke ist. Für größere Stufenanzahlen genügt es in der Regel erneut, nur einen Typ von Paaren zu betrachten. Die Arbeit schließt mit einer kurzen Diskussion und einem Ausblick in zukünftige Forschungsfragen.