Optimale Versuchsplanung für Zähldaten mit zufälligen Blockeffekten

Abstract

Das Poisson-Gamma-Modell ist eine Verallgemeinerung des Poisson-Modells, das zur Modellierung von Zähldaten verwendet werden kann. Solche Daten treten in Experimenten auf, bei denen die Anzahl von Objekten oder des Auftretens von interessierenden Ereignissen beobachtet wird. Das Poisson-Gamma-Modell ergibt sich aus dem Poisson- Modell, wenn wiederholt Beobachtungen für jede statistische Einheit durchgeführt werden und jeder statistischen Einheit ein Gamma-verteilter Blockeffekt zugewiesen wird. Die Schätzungen der unbekannten Parameter hängen von der Wahl der Versuchseinstellungen ab. Um die Parameter so präzise wie möglich zu schätzen und somit die Qualität der statistischen Analyse zu optimieren, werden optimale Designs bestimmt, welche die optimalen Werte und Häufigkeiten der Versuchseinstellungen angeben. Die Fisher-Informationsmatrix für das Poisson-Gamma-Modell wird analytisch hergeleitet und in Abhängigkeit von der Fisher-Informationsmatrix für das Poisson-Modell dargestellt. Es werden optimale Designs für das Poisson-Gamma-Modell für verschiedene Optimalitätskriterien bestimmt. Zunächst wird der Fall bekannter Parameter der Gamma-Verteilung betrachtet. Es wird gezeigt, dass das D-Optimalitätskriterium äquivalent zu einem kombinierten gewichteten Optimalitätskriterium aus D-Optimalität und Ds-Optimalität für die Effektparameter ist. Außerdem werden für das Poisson-Gamma-Modell die D-optimalen Designs für das multiple Regressionsmodell mit einer beliebigen Anzahl von Kovariablen bestimmt. Dabei ergeben sich die Ds-optimalen Designs für das Poisson- und Poisson-Gamma-Modell als Spezialfall. Für lineare Optimalitätskriterien wie L- und c-Optimalität wird gezeigt, dass die optimalen Designs im Poisson- und Poisson-Gamma-Modell übereinstimmen. Da das Poisson-Gamma-Modell ein nichtlineares Modell ist, hängen die optimalen Designs von den Parametern ab. Um robuste Designs bezüglich Parametermissspezifikation zu erhalten, werden standardisiert Maximin D- und c-optimale Designs hergeleitet. Solche Designs maximieren die minimale Effizienz in einem vorgegebenen Parameterbereich. Sind die Parameter der Gamma-Verteilung bis auf ihr Verhältnis unbekannt, dann ist die Fisher-Informationsmatrix eine Blockdiagonalmatrix. Es wird gezeigt, dass die Resultate zu den optimalen Designs bei bekannten Parametern der Gamma-Verteilung auf diesen Fall übertragen werden können.

The Poisson-Gamma model is a generalization of the Poisson model, which can be used for modelling count data. Such data arises in experiments, where the number of objects or occurrences of events of interest is observed. The Poisson-Gamma model results from the Poisson model when repeated observations are carried out for each statistical unit and each of them is assigned a Gamma distributed block effect. The estimates of the unknown parameters depend on the choice of the covariates. In order to estimate the parameters as precisely as possible and thus to optimize the quality of the statistical analysis, optimal designs are determined, which specify the optimal values and frequencies of the experimental settings. The Fisher information matrix for the Poisson-Gamma model is derived analytically and represented as a function of the Fisher information matrix for the Poisson model. Optimal designs for the Poisson-Gamma model are determined for different optimality criteria. First, the case of known parameters of the Gamma distribution is considered. The D- optimality criterion is shown to be equivalent to a combined weighted optimality criterion of D-optimality and Ds-optimality for the effect parameters. Moreover, for the Poisson-Gamma model the D-optimal designs for multiple regression with an arbitrary number of covariates are determined and the Ds-optimal designs for the Poisson and Poisson-Gamma model are obtained as a special case. For linear optimality criteria such as L- and c-optimality, the optimal designs in the Poisson and Poisson-Gamma model are shown to coincide. Since the Poisson-Gamma model is a nonlinear model, the optimal designs depend on the parameters. To obtain robust designs regarding parameter misspecification standardized maximin D- and c-optimal designs are derived. Such designs maximize the worst efficiency with respect to a prespecified parameter set. If the parameters of the Gamma distribution are unknown except for their ratio, then the Fisher information matrix is a block diagonal matrix. It is shown that the results for the optimal designs with known parameters of the Gamma distribution can be transferred to this case.