De Giorgi-Nash-Moser estimates for evolutionary partial integro-differential equations

Abstract

Die vorliegende Arbeit ist dem Studium einiger Klassen von linearen und quasilinearen partiellen Integrodifferenzialgleichungen gewidmet, welche Divergenzstruktur besitzen, von zweiter Ordnung im Ort sind und eine Zeitordnung kleiner als eins haben. Das prototypische Beispiel im linearen Fall ist durch die zeitfraktionale Diffusionsgleichung in Divergenzform gegeben. Solche Gleichungen treten in der Mathematischen Physik z.B. bei der Modellierung von anomaler Diffusion und dynamischen Prozessen in Materialien mit Gedächtnis auf. In dieser Arbeit entwickeln wir eine Theorie schwacher Lösungen für solche Probleme und studieren das Regularitätsproblem im zeitfraktionalen Fall. Für eine große Klasse solcher Probleme zeigen wir Beschränktheit von schwachen Lösungen. Unser Hauptresultat ist ein zeitfraktionales Analogon des berühmten De Giorgi-Nash-Theorems im klassischen parabolischen Fall. Es wird gezeigt, dass jede schwache Lösung der zeitfraktionalen Diffusionsgleichung mit lediglich beschränkten messbaren Koeffizienten hölderstetig ist. Mit Hilfe dieses Resultats beweisen wir die globale starke Lösbarkeit eines gewissen quasilinearen Problems. Ein weiteres wichtiges Resultat dieser Arbeit ist die schwache Harnack-Ungleichung für nichtnegative schwache Oberlösungen der zeitfraktionalen Diffusionsgleichung. Als Anwendung erhalten wir das starke Maximumprinzip und ein Resultat vom Liouvilleschen Typ.