The Riemann problem for weakly hyperbolic two-phase flow model of a dispersed phase in a carrier fluid

Abstract

We study the two-phase flow model proposed by Dreyer, Hantke and Warnecke [22]. The model describes the evolution of a mixture of a dispersed phase of small ball-shaped bubbles of water vapor, immersed in a carrier fluid, the corresponding liquid water phase. The model was derived from microscopic physical laws using averaging techniques and it is completely in divergence form. For the mathematical analysis here, we will only consider one space dimension, neglect the phase exchange terms handling phase transitions and assume isothermal flow. In this form, it is a weakly hyperbolic system of conservative partial differential equations. Since we can not use any of the existing results for the Cauchy problem of systems of conservation laws, we can not solve for arbitrary initial data but only for Riemann initial data. This thesis includes the first analysis of the Riemann problem of the twophase flow model considered. We perform the eigenstate analysis on the dispersed phase alone as well as the full two-phase system of equation. The wave types and all possible wave patterns are found. These patterns may contain delta-shocks or vaporless states. Solutions to the Riemann problem are found by solving highly nonlinear systems of algebraic equations. These solutions are self-similar and uniquely determined by the initial data. All solutions are given implicitly and uniqueness was shown using monotonicity arguments. The final result is a set of inequalities for the relative velocity between the two phases involved. To ensure the uniqueness of the solution, this relative velocity should be a certain amount smaller than the sound speed in the carrier phase. Its explicit value depends on the chosen equation of state and the parameters therein, as well as the initial data used. These bounds on the velocity are not sharp but give a sufficient criterion to ensure the uniqueness of the solution. We study bubbles in a liquid carrier as well as droplets or dust particles in a vapor carrier. In a gas, the equation of state (EOS) for isothermal flow yields the pressure as a linear function of the density. For a liquid, the simplest realistic assumptions lead to an affine function for the EOS.We extend the usual discussion of a linear equation of state to an affine linear one and therefore include commonly used equations of state like the Tait equation or the stiffened gas equation. The analysis for an affine linear equation of state is much more complicated. This is a key point of this thesis. Nonetheless, all possible wave configurations are discussed, the implicit functions to find a solution are given and the inequalities assuring monotonicity are stated as well. Numerical simulations for all considered cases were performed using a secondorder MUSCL-Hancock type scheme with MINBEE limiters and the HLL approximate Riemann solver. To improve the results, the new GHLL approximate Riemann solver was constructed and tested.

In dieser Arbeit untersuchen wir das zwei-Phasen Modell, welches von Dreyer, Hantke und Warnecke eingeführt wurde [22]. Das Modell beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Mischung aus einer gelösten Phase, bestehend aus kleinen kugelförmigen Blasen von Wasserdampf, in zugehöriger Trägerphase aus flüssigem Wasser. Das Modell wurde durch Mittelungstechniken mikroskopischer physikalischer Gesetzmäßigkeiten hergeleitet und ist vollständig in Divergenzform. Für die mathematische Analyse wurde eine Raumdimension betrachtet, Quellterme vernachlässigt, welche für Phasenübergänge verantwortlich sind und eine isotherme Strömung angenommen. In dieser Form ist das resultierende Modell schwach hyperbolisch und besteht aus speziellen partiellen Differentialgleichungen, sogenannten Erhaltungsgleichungen. Da die bestehende Theorie zu Cauchy-Problemen für Systeme von Erhaltungsgleichung nicht angewandt werden kann, konstruieren wir Lösungen nicht zu beliebigen Anfangsdaten, sondern nur zu Riemann-Anfangsdaten. Die vorliegende Arbeit enthält die erste mathematische Analyse des Riemann- Problems für das betrachtete zwei-Phasen Modell. Eine Analyse der Eigenzustände wird für die gelöste Phase, wie auch für das volle zwei-Phasen System durchgeführt. Alle Wellentypen und alle möglicherweise auftretenden Wellenkonfigurationen werden dabei gefunden. Diese Wellenkonfigurationen können delta-Stöße oder gasfreie Zustände enthalten. Lösungen des Riemann-Problems werden als Lösungen hochgradig nichtlinearer algebraischer Gleichungssysteme gefunden. Diese Lösungen sind selbstähnlich und eindeutig bestimmt durch die Anfangsdaten. Alle Lösungen werden implizit angegeben und Eindeutigkeit wurde mit Hilfe eines Monotoniearguments gezeigt. Im Ergebnis erhält man Ungleichungen für die relative Geschwindigkeit zwischen den beiden Phasen. UmEindeutigkeit zu garantieren muss diese Relativgeschwindigkeit einen gewissen Betrag kleiner sein als die Schallgeschwindigkeit in der Trägerphase. Der genaue Wert hängt von der gewählten Zustandsgleichung und den darin gewählten Parametern, wie auch von den Anfangsdaten ab. Diese Forderungen an die Geschwindigkeit sind keine scharfen Ungleichungen, aber stellen hinreichende Kriterien für die Eindeutigkeit dar. Untersucht werden neben Blasen in flüssiger Trägerphase auch Tropfen oder Staubpartikel in gasförmiger Trägerphase. In einer Gasphase wird die Zustandsgleichung durch eine lineare Funktion des Drucks in Abhängigkeit der Dichte gegeben. Für eine Flüssigkeit führt die einfachste realistische Annahme auf eine affin lineare Funktion der Zustandsgleichung. Die Analyse wird auf diese affin linearen Funktionen ausgeweitet und enthält daher die für die Beschreibung von Flüssigkeiten üblicherweise als Zustandsgleichung benutzten Tait-Gleichung und stiffened-gas Gleichung. Die mathematische Analyse dieser affin linearen Zustandsgleichung gestaltet sich deutlich komplizierter. Diese Betrachtungen sind einer der zentralen Punkte dieser Arbeit. Nichtsdestotrotz werden alle möglichen Wellenkonfigurationen diskutiert und die impliziten Funktionen zum Auffinden von Lösungen sowie die Monotonie garantierenden Ungleichungen angegeben. Für alle betrachteten Fälle werden numerische Simulationen durchgeführt. Dazu wurde das zweite Ordnung MUSCL-Hancock Schema mit MINBEE Limitern und HLL Riemann-Löser verwendet. Um die numerischen Resultate zu verbessern, wurde der neue GHLL Riemann-Löser konstruiert und getestet.