Beiträge zur geometrischen Integration und Anwendungen in der numerischen Simulation

Abstract

Die Lösung von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten mit einem Transformationsgruppenansatz führt auf Differentialgleichungen in Lie-Gruppen. Zur numerischen Lösung dieser Probleme werden im ersten Teil Verfahren entwickelt, die auf dem Extrapolationsprinzip in Verbindung mit symmetrischen Grundverfahren basieren. Gezeigt wird die Gültigkeit einer asymptotischen Entwicklung des globalen Fehlers für Einschrittmethoden in Lie-Gruppen. Für symmetrische Verfahren wird eine Entwicklung des globalen Fehlers in geraden Potenzen der Schrittweite gezeigt. Zur Konstruktion effizienter Verfahren wird die explizite Mittelpunktregel auf Lie-Gruppen verallgemeinert und die Symmetrie des resultierenden Verfahrens bewiesen. Im Gegensatz zum euklidischen Raum ist in Lie-Gruppen zusätzlich eine approximative Auswertung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel notwendig, da die hergeleitete asymptotische Entwicklung in der Lie-Algebra gültig ist. Für den Abgleich der Koeffizienten sind Kalkulationen in bewerteten freien Lie-Algebren notwendig. Zu diesem Zwecke wurde das Paket GLIEALG für Mathematica entwickelt. Symbolisches Rechnen in bewerteten freien Lie-Algebren erlaubt die automatische Generierung der Ordnungsbedingungen. Deren Lösung resultiert in effizienten Approximationsformeln bis zur Ordnung 8. Numerische Tests am Toda-Gitter bestätigen die theoretischen Resultate. Der zweiten Teil widmet sich dem Einsatz hochspezialisierter Zeitintegrationsverfahren zur Lösung von Anwendungsproblemen. Eine geometrische Integrationsmethode - die Magnus-Methode - wird zur numerischen Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung eingesetzt. Zur Lösung steifer Systeme mit Nebenbedingungen (DAEs vom Index 1), die aus Problemen der Deformation viskoelastischer Körper resultieren, werden linear-implizite Verfahren mit Krylov-Raum-Techniken zum Einsatz gebracht. Im letzten Kapitel wird eine Problemstellung aus der Neurobiologie gelöst, wobei mathematische Modellierung, numerische Algorithmen und Fragen der parallelen Implementierung im Zusammenhang diskutiert werden.

The solution of differential equations on differentiable manifolds with a transformation group ansatz leads to differential equations in Lie groups. In the first part numerical methods exploiting the extrapolation principle, based on a symmetric method, are developed. An asymptotic expansion of the global error of one-step methods in Lie groups is proved. The explicit midpoint rule is generalized to Lie groups. The symmetry of the resulting method is proved. Opposite to the Euklidean space here an approximative evaluation of the Baker-Campbell-Hausdorff formula is necessary because the asymptotic expansion is given in the Lie algebra. The adjustment of coefficients requires calculations in a graded free Lie algebra. For that purpose the Mathematica package GLIEALG has been developed. Symbolic calculations in a graded free Lie algebra allow the automatic generation of order conditions. By solving these equations approximation formulas up to order 8 have been derived. Numerical tests on the Toda lattice confirm the theoretical results. Part two is concerned with the application of highly specialized time integration methods to practical problems. A geometric integration method - the Magnus method - is utilized for the numerical solution of the stationary Schrödinger equation. Stiff systems with constraints (index 1 DAEs), resulting from the deformation of viscoelastic bodies, are solved by the use of linearlyimplicit methods with Krylov techniques. In the last chapter a problem from neurobiology is solved where mathematical modeling, numerical algorithms and parallel implementation are dealt with in close connection.