Iterative methods for solving nonlinear monotone operator equations with applications in compressive sensing and motion control

Abstract

This dissertation proposes alternative and efficient algorithms for solving monotone nonlinear operator equations. The algorithms are based on conjugate and spectral gradient methods. The proposed new algorithms exhibit the following properties: The search directions generated by the proposed new algorithms satisfy the sufficient descent-like condition and are bounded; the sequence of iterates is generated without solving any subproblem and can handle nonsmooth problems. We establish the global convergence results of the proposed new algorithms under appropriate assumptions, including the pseudomonotonicity and other classical assumptions. Numerical experiments conducted on certain benchmark test problems demonstrate the efficiency of the proposed new algorithms in comparison to existing similar algorithms. Furthermore, after reformulating the ℓ1-norm regularized least squares problem into a nonlinear equation, where a continuous and monotone operator is involved, we apply our new algorithms to compressive sensing and two-arm robotic motion control problems. Finally, we apply our methods for solving vector-valued approximation problems using a suitable interactive procedure based on scalarization.

In dieser Dissertation werden alternative und effiziente Algorithmen zur Lösung von monotonen nichtlinearen Operatorgleichungen vorgeschlagen. Die Algorithmen basieren auf konjugierten und spektralen Gradientenmethoden. Die vorgeschlagenen neuen Algorithmen weisen die folgenden Eigenschaften auf: Die von den vorgeschlagenen neuen Algorithmen erzeugten Suchrichtungen erfüllen die hinreichende abstiegsähnliche Bedingung und sind beschränkt; die Folge von Iterationen wird erzeugt, ohne dass ein Teilproblem gelöst wird, und kann nicht-glatte Probleme behandeln. Wir haben die globalen Konvergenzergebnisse der vorgeschlagenen neuen Algorithmen unter geeigneten Annahmen, einschließlich der pseudomonotenie und anderen klassischen Annahmen, ermittelt. Numerische Experimente, die an bestimmten Benchmark-Problemen durchgeführt wurden, zeigen die Effizienz der vorgeschlagenen neuen Algorithmen im Vergleich zu bestehenden ähnlichen Algorithmen. Nachdem wir das Problem der regulierten kleinsten Quadrate mit ℓ1-Norm in eine nichtlineare Gleichung umformuliert haben, wobei der involviete Operator stetig und monoton ist, wenden wir unsere neuen Algorithmen auf Probleme der kompressiven Abtastung und der Bewegungssteuerung von Zweiarmrobotern an. Schließlich wenden wir unsere Methoden zur Lösung von vektorwertigen Approximationsproblemen mit Hilfe eines geeigneten interaktiven Verfahrens an, das auf Skalarisierung basiert.