Existence results for vector quasi-variational problems

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von Existenzresultaten, inversen Beziehungen und numerischen Methoden für Vektor Quasi-Variationsungleichungen. Da die zu Grunde liegende Restriktionsmenge im Allgemeinen nicht kompakt ist, werden verschiedene Koerzivitätsbedingungen vorgestellt, die die Existenz von Lösungen unter schwachen Voraussetzungen garantieren. Weiter wird das Konzept der verallgemeinerten Lösungen eingeführt, das es ermöglicht ein skalares Optimierungsproblem zu betrachten. Dadurch können unter schwachen Vorraussetzungen an die Vektor Quasi-Variationsprobleme notwendige Bedingungen für diese hergeleitet werden. Des Weiteren werden in der Arbeit zwei inverse Variationsprobleme eingeführt, mit denen hinreichende und notwendige Bedingungen für Vektor Variationsprobleme vorgestellt werden. Weiter wird gezeigt, dass die abstrakten Resultate zur Untersuchung von Fragestellungen aus der Strahlentherapie genutzt werden können. Schließlich werden verschiedene Algorithmen für monotone Vektor Variationsungleichungen in Hilberträumen bewiesen, sodass Lösungen effizient berechnen werden können.

This thesis is concerned with the investigation of existence results, inverse relations and numerical methods for vector quasi-variational inequalities. Since the underlying constraining set is non-compact in general, several coercivity conditions are introduced to guarantee the existence of solutions under very weak assumptions. Furthermore the concept of generalized solutions is used to study a scalar optimization problem that enables to derive necessary conditions for vector quasi-variational problems. Furthermore, by introducing two inverse vector variational problems, necessary and sufficient conditions for variational problems will be derived. The results are used to study the problem of intensity modulated radiotherapy threatment. The last part of this thesis is dedicated to algorithms for monotone vector variational inequalities that enable to calculate solutions in an effective way.