Comparison principles and multiple solutions for nonlinear elliptic problems

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt elliptische Probleme mit Blick auf Vergleichsprinzipien sowie Mehrfachlösungen. Hierzu verwenden wir die Methode von Ober- und Unterlösung, welche eine äußerst nützliche und effektive Technik für den Beweis von Existenz- und Vergleichsaussagen bei Variationsgleichungen ist. Sie gestattet bei Kenntnis eines geordneten Paares u1, u2 von Ober- und Unterlösungen auf die Existenz von Lösungen der Variationsgleichung im Ordnungsintervall [u1, u2] zu schließen, d.h. die Methode liefert sowohl Existenz von, als auch Schranken für Lösungen. Die Methode von Ober- und Unterlösung für allgemeine Klassen von elliptischen und parabolischen Variationsgleichungen gehört inzwischen zum Standard bei der qualitativen Analyse von elliptischen und parabolischen Randwertproblemen. Ziel des Dissertationsvorhabens war die Verallgemeinerung und praktische Umsetzung der Methode von Ober und Unterlösung auf geeignete Klassen von Variationsungleichungen, Hemivariationsungleichungen sowie gewisser Mischtypen nichtglatter Variationsprobleme. Während für Variationsgleichungen die Begriffe von Ober- und Unterlösung eine natürliche Verallgemeinerung der entsprechenden klassischen Begriffe sind, gibt es im Falle der oben beschriebenen nichtglatten Variationsprobleme durchaus verschiedene Möglichkeiten, die Begriffe von Ober- und Unterlösung zu definieren. Hierzu wurden in den letzten Jahren von V. K. Le, D. Motreanu und S. Carl vielversprechende neue Ansätze geliefert, die als Grundlage und Ausgangspunkt des Dissertationsvorhabens dienten.