Well-posedness of a Newtonian two-phase flow with Boussinesq-Scriven surface fluid

Abstract

Diese Dissertation enthält eine mathematische Analyse des Anfangswertproblems für eine isotherme, inkompressible Newtonsche Zwei-Phasen-Strömung. Dabei ist die Dynamik der freien Grenzfläche durch das Boussinesq-Scriven-Gesetz bestimmt, das sowohl Grenzflächenspannung als auch Grenzflächenviskosität einbezieht. Zur Lösung dieses Anfangswertproblems stellen wir mehrere Methoden bereit. Dazu gehören eine modifizierte Hanzawa-Transformation zur Eliminierung der freien Grenzfläche und eine Theorie optimaler Regularität für eine Klasse elliptischer Transmissionsprobleme zur Eliminierung des Drucks. Mit diesen Hilfsmitteln beweisen wir, dass das Anfangswertproblem in einem beschränkten Gebiet wohlgestellt ist, sofern der Anfangszustand innerhalb der Grenzfläche eine gewisse Bedingung erfüllt. Diese ist sogar notwendig, um das zu Grunde liegende linearisierte Problem zu lösen.

This thesis contains a mathematical analysis of the initial-value problem for an isothermal, incompressible Newtonian two-phase flow. The dynamics of the free interface are governed by the Boussinesq-Scriven law, which involves both surface tension and surface viscosity. We provide several techniques for solving this initial-value problem, including a modified Hanzawa transformation for eliminating the moving interface and an optimal regularity theory for a class of elliptic transmission problems, which is used to eliminate the pressure. Equipped with these tools, we prove that the initial-value problem in a bounded domain is well-posed under the assumption that the initial state satisfies a certain condition within the interface. This condition is even necessary for solving the underlying linearized problem.