Banach space valued stochastic integral equations and their optimal control

Abstract

Stochatische Itô Volterra Rückwärts- und Vorwärts-Integralgleichungen in nicht bedingten Martingaldifferenzräumen (UMD) werden diskutiert, insbesondere die Werte der stochastische Prozesse in Lp-Räumen. Wir betrachten als Rauschprozesse den H-zylindrischen Wiener Prozess. Wir führen geeignete Voraussetzungen ein, sodass für die Zustandsgleichung ein eindeutiger Lösungsprozess existiert. Notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Maximumprinzips werden für ein stochastisches Optimalsteuerproblem hergeleitet. Wir definieren adjungierte Gleichungen als Banach-Raum-wertige stochastische Rückwärtsgleichungen vom Itô-Volterra Typ und unter geeigneten Voraussetzungen wird eine eindeutige adaptierte Lösung gefunden und ihre Eigenschaften werden bewiesen.

Stochastic Itô Volterra forward and backward equations in unconditional martingale difference (UMD) Banach spaces are discussed, particularly the values of the stochastic processes are in Lp spaces. We consider H-cylindrical Brownian motions as the noise process. We introduce suitable conditions such that for the state equation a unique solution process exists with certain smoothness properties. A stochastic optimal control problem is considered and necessary optimality conditions of maximum principle type are proved. We define adjoint equations using Banach-space-valued backward stochastic Itô Volterra integral equations (BSVIE) and the uniqueness of the adapted solution process and its properties are proved.