Geometric integration of a constrained Cosserat beam model

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung der Bewegungsgleichungen eines Cosserat-Balkenmodells, welches mittels Zwangsbedingungen auf ein Kirchhoff-Balkenmodell reduziert wird. Diese Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen auf Lie-Gruppen, die die Struktur eines semidirekten Produktes haben. Zur Parametrisierung der Orientierung im Raum werden Einheitsquaternionen verwendet. Die Bewegungsgleichungen des Balkens werden zunächst bezüglich des Ortes diskretisiert und führen dann auf differential-algebraische Gleichungen vom Index 3 auf einer höherdimensionalen Lie-Gruppe. Zur Lösung dieser Gleichungen wird ausgehend vom bekannten RATTLE-Verfahren ein neuer Algorithmus „RATTLie“ hergeleitet, der der Klasse der variationellen Integratoren zuzuordnen ist. Es wird bewiesen, dass RATTLie mit zweiter Ordnung konvergiert. Die Untersuchungen werden durch zahlreiche numerische Experimente untermauert.

The present thesis is concerned with the numerical solution of the equations of motion of a Cosserat beam model which is reduced to a Kirchhoff beam model by introducing constraints. The equations of motion take the form of differential equations on Lie groups with the structure of a semi-direct product. To parametrize orientation in space, we use unit quaternions. First, we discretize the equations of motion of the beam in space. This leads to differential-algebraic equations of index 3 on a higher dimensional Lie group. Second, in order to solve these equations, we develop a new algorithm called “RATTLie”. It belongs to the class of variational integrators and is based on the wellknown RATTLE method. We prove that RATTLie converges with second order. Finally, we carry out several numerical experiments that confirm our analytical considerations.