Stochastische Differentialinklusionen

Abstract

Die vorliegende Arbeit stellt eine allgemeine Untersuchung zu stochastischen Differentialinklusionen (SDI) dar. Es werden endlichdimensionale und unendlichdimensionale SDI des Typs dX(t) + A(t,X(t))dt + B(t,X(t))dW1(t) ... F(t,X(t))dt + G(t,X(t))dW2(t), X(0) = X0 betrachtet, wobei die Operatoren A, B einwertig und F, G mengenwertig sind.Für den Nachweis der Lösbarkeit werden unterschiedliche, bisher noch nicht auf SDI angewendete Methoden erarbeitet, je nach Art der Eigenschaften der mengenwertigen Abbildungen. Der Grundgedanke besteht dabei stets darin, die stochastischen Differentialinklusionen auf stochastische Differentialgleichungen über die Wahl von Selektoren zurückzuführen. In diesem Sinn sind SDI als Verallgemeinerung stochastischer Differentialgleichungen auffassbar.Im Fall endlichdimensionaler Inklusionen werden Existenzsätze für jegliche Kombination maximal-monotoner und Lipschitz-stetiger Drift- und Diffusionsterme mit Hilfe der Yosida-Approximation und entsprechender Selektionstheoreme bewiesen. Teilweise existieren hierfür eindeutige Lösungen.Der Hauptteil der Arbeit beschäftigt sich mit SDI auf Evolutionstripeln. Für Lipschitz-stetige mengenwertige Abbildungen führt das Galerkin-Verfahren zu Aussagen der Lösbarkeit und der Approximationsgüte.Mit der Methode von Ober- und Unterlösung ist es möglich, die Lösungsmenge von Inklusionen mit maximal-monotoner Drift und Diffusion einzuschließen. Auch hier werden Eindeutigkeitsresultate formuliert.Anhand von Beispielen aus der Praxis finden schließlich die formulierten Ergebnisse Anwendung.

This thesis deals with finite and infinite dimensional stochastic differential inclusions (SDI) like dX(t) + A(t,X(t))dt + B(t,X(t))dW1(t) ... F(t,X(t))dt + G(t,X(t))dW2(t), X(0) = X0with single-valued operators A, B and set-valued maps F, G.According to the properties of the set-valued maps we present several methods for proving existence. Basic idea is to substitute SDI by stochastic differential equations via certain selections of the set-valued maps. So SDI are considered as a generalization of stochastic differential equations.For finite dimensional SDI with maximal monotone or Lipschitz-continuous set-valued maps we prove existence by using Yosida approximations and selection theorems. Additionally unique solutions exist.In the main part of the thesis we concentrate on solving SDI on an evolution triple. The method of Galerkin is applied to the case of SDI with Lipschitz-continuous set-valued maps.Besides the existence we achieve conclusions of approximating the solution set.With the method of upper and lower solution it is possible to enclose the set of solutions for SDI with special maximal monotone drift and diffusion. Here we can also show the uniqueness of a solution.At least the results are completed by some examples.