Numerische Behandlung linearer und semilinearer partieller differentiell-algebraischer Systeme mit Runge-Kutta-Methoden

Abstract

Die mathematische Modellierung zahlreicher Probleme aus Naturwissenschaft und Technik führt auf Systeme partieller Differentialgleichungen, die aus einer Kopplung von Gleichungen unterschiedlichen Typs bestehen, zum Beispiel aus parabolischen, elliptischen und algebraischen Gleichungen. Diese werden partielle differentiell-algebraische Gleichungen (PDA-Systeme, engl.: partial differential algebraic equations, PDAEs) genannt. Die vorliegende Arbeit liefert einen Beitrag zur numerischen Behandlung von PDASystemen. Betrachtet wird eine spezielle Klasse von räumlich d-dimensionalen Anfangsrandwertaufgaben partieller differentiell-algebraischer Systeme. Diese Systeme werden hier mit der Linienmethode numerisch gelöst: Zunächst erfolgt eine Semidiskretisierung bezüglich der räumlichen Variablen mittels finiter Differenzen, das resultierende differentiellalgebraische System wird dann durch Runge-Kutta-Verfahren gelöst. Für lineare PDA-Systeme wird die Konvergenz der Ortsdiskretisierung sowohl auf der Grundlage der Lösungsdarstellung der linearen Fehlergleichung mittels Drazin-Inverser als auch mit einer Weierstraß-Kronecker-Transformation gezeigt, und es werden für die Gesamtdiskretisierung Konvergenzresultate in Abhängigkeit vom Typ der Randbedingungen und dem differentiellen Zeitindex angegeben. Insbesondere wird auf gebrochene Konvergenzordnungen bezüglich der Zeit eingegangen. Aufbauend auf den für lineare Systeme erzielten Ergebnissen werden Konvergenzaussagen auch für Lipschitz-stetige Funktionen hergeleitet. Die bewiesenen Konvergenzsätze werden auf zwei praxisrelevante Verfahren, das implizite Euler-Verfahren und das dreistufige Radau-IIA-Verfahren, angewendet und durch numerische Beispiele bestätigt.

The mathematical modelling of numerous problems in sciences and engineering leads to systems of partial differential equations which consist of a coupling of equations of different type, e.g. parabolic, elliptic and algebraic equations. These are called partial differential algebraic equations (PDAEs). The present work is a contribution to the numerical treatment of PDAEs. We consider a special class of spatially d-dimensional initial boundary value problems of partial differential algebraic equations, viz semi-linear systems with constant coefficients. These systems are solved numerically by the method of lines: At first a semi-discretization is applied w.r.t. the spatial variables by finite differences. The resulting differential algebraic system is then solved by Runge-Kutta methods. For linear PDAEs, the convergence of the space discretization is proven both based on the representation of the solution of the linear error equation by means of the Drazin inverse and with a Weierstrass-Kronecker decomposition. Convergence results for the fully discrete scheme are given in dependence on the type of the boundary conditions and the differential time index. In particular, fractional orders of convergence in time are encountered. Based on the results achieved for linear systems, convergence is examined for Lipschitzcontinuous functions . The convergence theorems are applied to two methods with practical relevance, the implicit Euler method and the three-stage Radau IIA method. Numerical examples confirm the theoretical results.